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哥德尔不完全性定理讲了什么?
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本文探讨了哥德尔不完全性定理对希尔伯特计划的冲击,该计划旨在通过形式化数学来确保其一致性。哥德尔定理证明了在足够强大的形式系统中,存在既不能被证明也不能被证伪的命题,从而否定了希尔特计划的理想。文章详细介绍了哥德尔第一和第二不完全性定理,并探讨了对这些定理的辩护,指出了数学在自我证明上存在的根本性限制。

🤔希尔伯特计划试图通过形式化数学来确保其一致性,其核心在于建立一个包含所有数学分支的逻辑系统,并证明该系统的一致性。

🤯哥德尔第一不完全性定理指出,在包含一定算术的形式系统中,存在一个既不能被证明也不能被证伪的命题,这表明形式系统无法完全把握所有数学真理。

🧐哥德尔第二不完全性定理进一步揭示,任何一致的(含有一定量算术的)理论都无法证明自身的一致性,这限制了数学自我证明的能力。

💡哥德尔定理对希尔伯特计划产生了致命打击,迫使数学家重新思考数学的本质和局限性,并引发了对数学基础的深刻反思。

希尔伯特计划有一个明确的认识论目标,即一劳永逸地建立起对数学方法的确信,它将建立在先前公理化各个数学分支的工作以及严格逻辑系统之上,这一计划背后的想法是要仔细严格地形式化数学的每个分支及其逻辑,然后去研究该形式系统以确认它们是一致的。

冯·诺依曼给出了一份希尔伯特计划的简要概括,涉及4个步骤:(1)枚举所有数学和逻辑中用到的符号;(2)明确地特征化这些符号的所有表示经典数学中被归为“有意义的”陈述的组合,这些组合被称为“公式”;(3)提供一种构造程序,它使我们能够成功地构造所有对应于经典数学中“可证”陈述的公式,这种程序被称为“证明”;(4)(以一种有穷元的方式)证明那些对应于经典数学的陈述的公式(这一对应可以用有穷元算术的方法来检查)可以由(3)中描述的程序证明,当且仅当对其所对应陈述的检查显示它是真的(这一点是有问题的)。

哥德尔(第一)不完全性定理对希尔伯特计划的认识论目的给予了致命打击,它的表述如下:令T为一个包含一定量算术的形式演绎系统,并假设T的句法是能行的,即存在一种算法来判定一组给定的字符序列是否是一条符合语法的公式和一种算法,以判定一组给定的公式序列是否是一个T中合法的演绎;在T的语言中存在一个句子G,使得(1)如果T是一致的,那么G不是T的定理;(2)如果T具有比一致性更强一点的性质,称为“ω-一致性,那么G的否定不是T的定理,也就是说,如果T是ω-一致的,那么它无论如何都无法判定G。

该公式G具有有穷元陈述的形式,所以如果T是一致的,那么G是真的但不可证,因此哥德尔的结果摧毁了找到单个形式系统来把握所有经典数学或只是所有算术的希望。

哥德尔证明了不完全性定理背后的推理可以在给定的形式系统T之中重新演绎,如果“在T中可证”的公式化满足某些简单的要求,那么我们可以在T中推出一句这样的句子:如果T是一致的,那么G不能从T中推出。

由于“G不能从T中推出”等价于G,因此我们可以在T中推出一句这样的句子:如果T是一致的,那么G,而这与哥德尔(第一)不完全性定理相矛盾。

如果T是一致的,那么一个人不可能在T中推出“T是一致的”这句所需的陈述,即任何一致的(含有一定量的算术的)理论都不可能证明自己的一致性,这就是哥德尔(第二)不完全性定理。

令PA为(理想的)算术,例如经典自然数理论的形式化,希尔伯特计划要求对PA的一致性给出一个有穷元证明,但是第二不完全性定理指出,如果PA确实是一致的,那么PA一致性的直接陈述在PA自身中无法推出。

哥德尔之后对希尔伯特式的计划的辩护至少有两种选择,其一在第二不完全性定理证明中用到其他方法来表示一致性性质,而这种方式能避开第二不完全性定理;其二是去证明或声明,有穷元算术的方法不能在PA中或其他任何形式理论中被完全把握,即有穷元算术是天生非形式的。

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