主题：非线性动力学与统计物理

课程简介

关于高自由度非线性系统的分析，物理学家们早已进行过广泛的探索，并发展出了诸如统计物理等强有力的工具。统计物理，包括平衡和非平衡统计，着眼点从单个的状态走向状态集合。它通过研究系统的集体行为，揭示了系统在宏观尺度上的统计规律和物理性质。

本次课程将重点探讨非线性动力学与统计物理之间的紧密联系，分析从动力学到经典统计物理所需的简化假设，并介绍如何使用动力学的测度理论来描述复杂系统的演化。特别地，课程将讨论统计物理框架是否能够涵盖非哈密顿系统，并分析最大熵原理和能量景观的概念如何帮助我们理解系统的平衡态与非平衡态行为。本课程将为学生提供一种新的视角，帮助他们将非线性动力学和统计物理的理论工具结合起来，以更加系统更加深入地研究非线性系统的行为特征。

课程目标

本次课程旨在帮助学生深入理解非线性动力学与统计物理学的融合交叉，特别是如何利用统计物理的框架分析复杂系统。通过本课程，学生将掌握从动力学到统计物理的简化假设，并了解如何通过动力学的测度理论思想实现对系统的宏观描述。课程将重点介绍最大熵原理与能量景观的概念，探讨统计物理框架是否能够涵盖非哈密顿系统，并分析这种框架如何在处理具有高度非线性的复杂系统时发挥作用。通过对这些概念的学习，学生将能够更好地理解复杂非线性系统的动力学行为，掌握在多学科复杂系统建模中应用统计物理工具的能力。

课程大纲

a. 概述统计物理的思想、工具如何与非线性动力学进行结合，来解析其中的关键信息；

a. 哈密顿动力学是描述经典力学体系状态变化的重要理论，为经典统计物理提供了基础。本部分会介绍经典哈密顿系统的基本架构，相空间、哈密顿方程、系综等，并讲解Liouville's Theorem这一重要的定理，以及遍历性问题。推导正则分布，检查所做的建设。

b. 介绍最大熵原理，通过统计行为的描述、熵的最大化、以及与环境的相互作用，这些概念共同构成了基础理论，为进一步研究复杂物理现象和系统提供了重要框架，它提供了一种统计的方式来理解微观与宏观之间的联系。

a. 这部分我们会从平衡统计物理，走向非平衡统计物理。会看到平衡统计物理的局限，例如非哈密顿系统、无法遍历、非对称、相空间密度非常数等问题，这也是非平衡物理所面临的挑战。

b. 我们会介绍在非平衡统计物理中，会用到的方法，包括能量景观模型、Perron-Frobinius 算符、Koopman算符等，也会以具体的布朗运动展开分析。

4. 课程总结

涉及专业术语

Dynamical Systems（动力学系统）、Coarse Graining（粗粒化）、Renormalization Group（重整化群）、Hamiltonian System（哈密顿系统）、Equilibrium statistical Physics（平衡统计物理）、Canonical dynamics（规范动力学）、Liouville's Theorem（刘维尔定理）、Ergodicity Problem（遍历性问题）、Statistical thermodynamics（统计热力学）、Microcanonical ensemble（微正则系综）、Canonical ensemble（正则系综）、Heat reservoir（热库）、Legendre transformation（勒让德变换）、Nonequilibrium statistical Physics（非平衡统计物理）、Energy landscape（能量景观）、Maximum Entropy Principle（最大熵原理）、Fokker-Planck Equation（福克-普朗克方程）、Koopman Operator（库普曼算子）、Sinai-Ruelle-Bowen Measure（SRB 测度）

课程信息 

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学理学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

系列课程信息

课程适用对象

理工科研究生或高年级本科生：

对非线性动力学、数学建模、数学物理或统计力学感兴趣。

具备一定的微分方程、线性代数及计算基础。

对理论与实践结合感兴趣的跨学科研究者：

希望通过Koopman算子探索非线性系统在自己的研究方向中的应用。

具有探究精神的学生：

课程证书

课程证书发放标准：

报名时间：2024年12月21日前报名的成员；

参与课程直播：不低于80%，根据腾讯会议的在线时间进行统计；

加分项：课程直播和课程微信群内积极提问；

加分项：完成课程设置的任务；

报名须知

课程形式：腾讯会议直播，集智学园网站录播。本系列课程不安排免费直播。

课程周期：2024年12月21日-2025年1月25日，每周六下午2点-4点进行。

课程定价：599元

付费流程：

扫码付费；

课程页面添加学员登记表，添加助教微信入群；

课程可开发票。

课程奖学金机制

在集智斑图网站（pattern.swarma.org）完成本课程体系下某个方向的总结文章或学习路径。经集智学园助教团队评定认可后，可作为一条贡献。一条贡献奖励200元奖学金，质量优异的内容，会有浮动奖励。

可参考：

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