o1方法性能无上限！姚班马腾宇等数学证明：推理token够多，就能解决任意问题

OpenAI用o1开启推理算力Scaling Law，能走多远？

数学证明来了：没有上限。

斯隆奖得主马腾宇以及Google Brain推理团队创建者Denny Zhou联手证明，只要思维链足够长，Transformer就可以解决任何问题！

通过数学方法，他们证明了Transformer有能力模拟任意多项式大小的数字电路，论文已入选ICLR 2024。

用网友的话来说，CoT的集成缩小了Transformer与图灵机之间的差距，为Transformer实现图灵完备提供了可能。

这意味着，神经网络理论上可以高效解决复杂问题。

再说得直白些的话：Compute is all you need！

CoT让Transformer运行更高效

首先需要说明的是，“可以解决任何问题”是一个通俗化的表述，严格来说，论文的核心结论是思维链（CoT）能够显著提升Transformer的表达能力。

作者首先通过理论分析，提出对于固定深度、多项式宽度、常数精度的Transformer模型，如果不使用CoT，其表达能力将受限于AC0问题类别。（AC0是一类可以在并行计算中高效解决的问题，但不包括需要复杂序列化计算的问题。）

在固定指数位的情况下，固定深度、对数精度的Transformer模型即使引入了正确的舍入操作，其表达能力也仅限于TC0问题类别。

但当引入CoT时，固定深度、常数精度的Transformer模型就能够解决任何由大小为T的布尔电路解决的问题。

这表明CoT显著扩展了模型的表达能力，使其能够处理更复杂的问题。

为了验证理论分析，论文在四个核心问题上进行了实验，考虑了基础（base）、CoT和提示（hint）三种不同的训练设置：

模运算（Modular Addition）：并行计算问题，论文展示了CoT如何提高模型在这个问题上的准确性；

置换群组合（Permutation Composition）：需要序列化计算的问题，论文证明了CoT在解决这类问题上的有效性；

迭代平方（Iterated Squaring）：典型的序列化计算问题，论文展示了CoT如何使模型能够有效地解决这类问题；

电路值问题（Circuit Value Problem）：这是一个P完全问题，论文证明了即使是在模型深度较低的情况下，CoT也能使模型能够解决这类问题。

首先在可并行的模运算问题上，输入是若干个模7的数，输出是它们的模7和。

实验结果表明，所有设置下的Transformer都能够学习模加；但在较长序列（如n=16）上，CoT的优势更加明显。

这说明即使是可并行问题，CoT也能带来一定的效率提升。

在内在串行的置换群复合任务上，输入是S_5置换群中的若干个置换，输出是它们的复合结果。

结果，CoT提高了低深度模型的准确性——

不使用CoT的Transformer即使深度较大也难以学习该任务（准确率约20%），而使用CoT后即使是1层Transformer也能轻松学习（准确率100%）。

对于迭代平方任务，输入是一个质数p、一个整数r和若干个“^2”符号，输出是r^(2^k) mod p。

实验结果与置换群复合任务相似：不使用CoT时。即使16层Transformer也难以学习；而使用CoT后。1层Transformer就能完美求解。

这再次验证了理论分析，即迭代平方是内在串行的，需要CoT来提供必要的计算能力。

最后的电路值问题，输入是一个随机布尔电路的描述，输出是电路的最终输出值。

实验结果表明，在基准设置下，4层Transformer的准确率约为50%，8层约为90%，16层接近100%；

而使用CoT后，1层Transformer就能达到接近100%的准确率。

这验证了理论结果，即CoT赋予了Transformer任意电路的模拟能力，使其能够解决电路值问题这一P完全问题。

CoT+Transformer模拟门电路

除了上述实验，作者还对以下结论进行了理论证明：

对于任意一个可以用多项式大小的布尔电路计算的函数，都存在一个仅有常数层数的Transformer，可以通过足够多步数的思维链（CoT）来模拟电路的计算过程，从而计算出这个函数。

证明的思路是先将布尔电路视为一系列逻辑门的组合，然后利用Transformer中的位置编码为每个逻辑门及其状态分配一个独特的表示，进而通过逐步计算来模拟整个电路的执行过程。

这个证明的关键，在于利用CoT来逐步模拟电路中每个门的计算。

具体而言，对于一个有T(n)个门的电路，作者设计了一个4T(n)个token的输入序列。

这个序列包含了电路的完整描述，每个门用4个连续的token表示：门类型、两个输入门的索引和当前门的索引，并用输入序列中的第一个token指示了电路的输入值。

然后，作者构造了一个常数深度的Transformer，这个Transformer的嵌入维度只需要O(log n)，就足以对T(n)个门进行编码。

在第一层，Transformer读取输入序列，并将电路的描述信息存储到其位置嵌入中。

接下来是关键的CoT步骤。Transformer逐步生成4T(n)个token的思维链，每4个token对应电路中的一个门。

对于第i个门,Transformer执行以下操作：

利用注意力机制获取两个输入门的计算结果：如果输入门是电路的输入，可以直接从输入序列中读取；如果输入门是前面计算过的中间结果，则可以从思维链的对应位置读取。

根据门的类型（与、或、非等），用前馈网络计算当前门的输出。

将当前门的输出写回到思维链中，作为后续门的输入。

通过这一过程，Transformer逐步模拟了电路中每一个门的计算，并将中间结果存储在思维链中。在生成完整个思维链后，最后一个门的输出就对应了电路的最终输出。

也就是说，通过将电路“展开”为一个长度为O(T(n))的思维链，即使固有深度很浅，Transformer也可以逐步执行电路中的计算。

在此基础上，作者进一步证明，具有O(T(n))长度CoT的常数深度Transformer，可以模拟任意T(n)大小的电路，因此其计算能力等价于多项式大小电路。

理论打通了，实际可行吗？

能够模拟电路的计算过程，意味着CoT+Transformer能够解决可计算问题。

同时，这也说明只要有足够的CoT思考时间，大模型不需要扩展尺寸也能解决复杂问题。

有专业人士用一篇长文解释了CoT和图灵完备性之间的关系：

如果没有CoT，Transformer仅限于执行AC0复杂度类中的可并行任务；
CoT推理从根本上改变了这一格局，它使Transformer能够通过中间推理token处理串行计算，从而增加计算深度并允许模型模拟AC0以外的更深层次的电路。
这一进步将Transformer带入了P/poly领域，即多项式大小电路可以解决的问题类型。
理论上，只要有足够的CoT步骤，Transformer就可以模拟多项式大小电路可以执行的任何计算，从而缩小了Transformer与图灵机之间的差距。
但实际限制仍然存在，例如有限的上下文窗口和计算资源。要充分利用这一潜力，需要仔细的模型设计和优化。