本文探讨了AI在解决几何问题时的能力边界，并对比了不同AI模型在处理“平面分割无穷圆”这一难题时的表现。文章指出，GPT 5 thinking model成功解决了该问题，而其他模型则受限于“从文字到文字”的思考模式，缺乏对概念的真实理解。文章还深入分析了几何直觉在数学思考中的作用，以及AI是否能通过精巧的文本训练获得这种直觉，并将其类比为AI领域的“玛丽房间问题”，反思了AI理解世界与人类感官经验之间的差异。

🎯 AI模型在解决几何问题时展现出不同的理解能力，GPT 5 thinking model能够成功证明“平面不可能分割成无穷个圆的无交并”，而其他模型则因缺乏对概念的深层理解而失败。

🧠 失败的AI模型普遍存在“从文字到文字”的思考模式，它们能够调用定理知识，但无法真正理解概念的内涵，例如不理解“圆是圆的”，这限制了它们在几何问题上的表现。

💡 几何直觉在解决低维几何问题时至关重要，它能帮助人类快速“看出”关键构造，从而大大缩短思考搜索的难度，这是纯粹依赖文本概念的AI模型所不具备的优势。

🌐 现代数学理论已超越对三维现实想象的依赖，转向纯粹概念思辨，在高维空间或抽象领域，AI的“盲目”理论上反而带来自由，避免了低维直觉的误导。

❓ AI是否能通过精巧的文本训练获得几何直觉，这是一个类似“玛丽房间问题”的知识论难题，涉及AI能否在脱离感官经验的情况下真正理解世界。

遇到了一个有趣的问题，正好落在 AI 模型的能力边界处：试证明不可能把平面分成无穷个圆的无交并。

在我尝试的所有模型里，只有 GPT 5 thinking model 成功做了出来（虽然花了点时间）。

有趣的不是这个结论，而是观察它们的思路。所有失败的模型都有个共同点：它们的思考基本上是从文字到文字的。它们会调用自己脑海中各种已有的定理和知识，然后漫无目的地试图拼凑出一个证明，但所有这些定理，不管是拓扑的还是几何的还是测度的，对它们来说都是纯粹字面意义上的陈述。Qwen 的思考过程最典型：它滔滔不绝想了很久，但很显然从头到尾它都并不真的理解它在说什么。圆也罢，开集闭集也罢，Baire 纲定理也罢，对它来说都是纯粹的概念，给人的感觉是它甚至并不真的知道「圆是圆的」。

微妙之处在于，这种「没有几何直觉的几何思考」在某些时候其实未必是一种劣势。现代数学早已挣脱了对三维现实想象的依赖，大部份数学思考本来也确实是在纯粹的概念思辨空间中进行（特别是当问题进入代数乃至范畴论的领域的时候，这时从概念到概念的思考就变成了一种必然）。有的时候，几何直觉甚至反而会成为一种束缚，特别是当思考高维空间的时候，基于低维现实的直观常常是有误导性的。在这些问题上，AI 的「盲目」理论上反而带来了自由，使得它不必受困于视觉直觉。——当然，人类的视觉直觉可能会渗透进人类的文本语料里，在某种程度上「污染」AI，但这是另一个问题。

然而对原问题来说，因为这是一个标准的低维几何问题，几何直觉在这里不但有用，而且能大大缩短思考搜索的难度。在这一点上，一个把圆只作为抽象概念来理解的 AI 就会有巨大的劣势，因为它无法享受到几何直觉带来的跳步。这种直觉使得人可以一眼「看出」关键的构造，而这种构造在文本层面被搜索出来是困难的。

考虑到 AI 的应用毕竟大多数情况下还是为了解决世界现实问题而不是思考高维几何，有几何直觉的 AI 会在大多数问题上显得聪明得多。于是一个现实问题是，这种直觉是只有依赖多模态的训练才能获取，还是可以通过精巧的文本训练就能实现？这有点像是 AI 领域的玛丽房间问题。这是一个经典的知识论思想实验：一个从出生就生活在黑白房间里、精通颜色物理与神经机制的科学家玛丽，当她第一次走出房间看到红色时，她是否获得了新的知识？

今天大多数 AI 领域的困难都可以归结于此。人类是自己感官的奴隶，我们听到、看到、闻到，我们体会身体激素的涨落，我们想象、困惑、愤怒，然后试图把这一切投射在文字空间里。AI 则正好相反，它们在文字里理解这一切，但最终需要努力地——有时候是徒劳地——明白，一个圆在什么意义上是圆的。