2025-08-08 18:32 上海
2025月8月9日（周六） 9:00-11:00
导语
现实世界的复杂性令人望而却步：从量子涨落到生态系统，从神经网络到金融市场，这些看似不同的系统都展现出惊人的多尺度特征。然而，在表面复杂性背后，隐藏着一个深刻而优美的统一原理——重整化群理论。简单来说，无论微观细节多么不同，在特定尺度变换下，系统往往遵循相同的宏观规律，展现出普适的集体行为。
重整化群不仅是数学技巧，更是革命性的思维方式。它教会我们通过巧妙的坐标变换，在保持本质特征的前提下将复杂问题逐步简化。从微分方程到统计物理，从混沌动力学到量子场论，这种"化繁为简而不失其神"的方法论贯穿现代物理的不同分支，并向其他领域扩展。
本课程兰岳恒讲授将在「重整化群初步」第三课中，从基础数学变换到混沌中的自相似性，从统计物理的临界现象到复杂系统的前沿应用，带我们学习真正理解重整化群，需要建立的思维方式和洞察力。
主题：重整化群初步
课程简介
课程简介
理论模型都是对真实物理世界的简化描述，重整的技术实际上在建模中随处可见。这里我们举几个常见的模型重整与约化的例子。更加系统地，物理中的平均场方法实际上就是一个常见但并不平凡的例子；而解微分方程中的常数变易法联系了重整与坐标变换。统计物理中自旋模型重整化，则是重整化群萌芽的经典模型，包含了诸多重要概念。我们也会指出其中比较隐蔽的假设，厘清重整化群和相变的关系，指出重整化群实际上可以推广到一般对称操作。
课程大纲
课程大纲
1. 引言
a. 重整化群是一种处理多尺度物理问题的系统性方法。它通过在不同尺度（时间、空间或能量）间建立变换关系，将复杂的高维系统逐步简化为低维描述，同时保持系统的本质特征不变。这种方法的核心思想是：通过局部的求和或投影操作，重新定义系统的坐标和相互作用，从而揭示系统在大尺度或低能量下的整体行为规律。
2. 几个常见模型中的重整与约化
a. 通过数学、力学、随机游走、电磁学、量子场论等多个具体领域的实例，系统展示了重整化群思想在不同学科中的普遍存在性和统一性。这些例子从最基础的微分方程求解技巧到最前沿的高能物理理论，都体现了同一个核心原理：通过适当的坐标变换或参数重新定义，将复杂的多尺度问题转化为更简单、更易处理的等价形式，同时保持系统的本质物理性质不变，从而揭示了重整化群作为一种普适性数学工具和物理思想在现代科学中的基础地位。
b. 子主题
数学中的例子
力学中的例子
随机游走中的例子
电磁学中的例子
量子场论中的例子
一个与相似性相关的可视化例子
3. 混沌转化中的例子
a. 这部分课程通过倍周期通向混沌的经典例子，展示了重整化群方法如何揭示非线性动力学系统中的普适性规律。以一维映射 f(x) = rx(1-x) 为原型，当参数r增加时系统经历倍周期分岔最终走向混沌，这个过程中出现的自相似结构和Feigenbaum常数体现了重整化群的核心思想：在不同尺度上系统展现相同的数学结构。
b. 子主题
自相似性与函数变换
重整化群入门
4. 统计物理中的重整化群
a. 重整化群在统计物理中的发展经历了从临界现象的标度理论到Wilson的突破性理论建立的过程。RG的核心思想是：在系统临界点处，关联长度变为无穷大，使得系统的普适性质得以显现，而具体的微观细节变得不重要。这种方法能够正确描述连续相变，解释标度律和普适性，并从理论上计算出临界指数的准确数值。以一维Ising模型为具体例子展示RG的计算过程，接着引入层次格子模型来探讨RG映射的数学结构，最后通过Lee-Yang零点和Julia集的联系，以及自旋玻璃系统，展现RG理论在复杂系统中的深层应用。
b. 子主题
一般性介绍
一维Ising模型
5. 总结
a. 重整化群的本质特征
b. 四个前沿研究问题
复杂系统的适应性问题
集体坐标与层次结构的系统性发现
数据驱动的本质动力学应用
复杂系统动力学的普适分类
c. 课程的前瞻性意义
专业术语
专业术语
重整化、重整化、自相似性、函数变换、统计物理、标度不变性、尺度变换、降维、群结构、层级结构、坐标变换、尺度分离、倍周期分岔路径、Feigenbaum常数、普适函数、不动点分析、临界现象、普适类、重整化流、Ising模型、Lee-Yang定理、Julia集、自旋玻璃
课程信息
课程信息
课程主题：重整化群初步
课程时间：2025年8月9日（周六） 9:00-11:00
课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）
课程主讲人
课程主讲人
兰岳恒，北京邮电大学物理科学与技术学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。
重整化群分析在非线性物理中的应用系列课程 🔥火热报名中
重整化群分析在非线性物理中的应用系列课程 🔥火热报名中
你知道吗？费根鲍姆常数可以由重整化群计算，相变临界点可以由重整化方法得出，深度神经网络的多层计算就是在对图像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理规律变化的数学工具，帮助我们理解系统在大范围内或临界点附近的行为。集智学园联合北京邮电大学兰岳恒教授开设「重整化群分析在非线性物理中的应用」系列课程，系统讲述重整化群这一理论框架，怎样用来分析高维非线性系统的性质，实现方程的求解与约化。本系列课程将回答如下问题：
从有限的观测提取一般性规律建模的原则和常见框架是什么？
怎样写出系统重要结构和运动模式的近似解析表达式？
怎样将对称性、不变性、基本范式等先验知识放到系统解析描述中？
怎样建立系统不同层级动力学间联系的方程？
早鸟价最后两天！欢迎感兴趣的研究者加入课程。
详情可见：重整化群与非线性物理，寻找复杂系统跨尺度的分析方法丨新课发布
推荐阅读：
点击“阅读原文”，报名课程
