「【新智元导读】清华大学教授段然提出了一种最短路径新方法，击败了教科书中经典的 Dijkstra 算法。」
计算机科学的重大成果！
清华大学教授刷新最短路径算法认知，或将改写计算机算法教科书。
在计算机科学中，一个经典问题是寻找网络中每个点的最短路径，而 Dijkstra 算法是此问题的最经典解决方法。
自 1956 年来，最短路径问题吸引了众多研究人员的关注。
哥本哈根大学计算机科学家 Mikkel Thorup 米克尔 · 索鲁普表示:
最短路径是个绝妙的好问题，全世界人都能感同身受。
直觉上，找到离起点最近的点的路径应该最简单。
因此，如果想设计一个解决最短路径问题的最快算法，合理的做法是先找到最近的点，然后是次近的点，依此类推。但这意味着你需要反复确定哪个点是最近的，也就是说，你得按距离给这些点排序。
然而，这种方法有一个根本的限制：这种**「算法****的速度无法快过排序所需的时间」**。
四十年前，研究最短路径算法的科学家们遇到了这个「排序瓶颈」。
现在，来自清华大学等机构的研究团队设计了一种新算法，突破了这一瓶颈。这种算法不依赖排序，而且比任何需要排序的算法运行得更快。
普林斯顿大学的计算机科学家 Robert Tarjan 说：「这些研究者大胆地认为他们能打破这个瓶颈。这是一个惊艳的成果。」
值得一提的是，这项研究摘得 STOC 最佳论文，实至名归。
左：Mikkel Thorup；右：Robert Tarjan
「最短路径」
若想解决复杂难题，条理分明往往事半功倍。比如将问题拆解后优先处理最简单的部分——但这种分类需要代价，你可能耗费过多时间在排序上。
这一困境尤其体现在计算机科学中最经典的问题之一：如何在网络中从特定起点出发，找到通往其他所有点的最短路径。这就像日常搬家后必须解决的升级版问题：规划从新家到公司、健身房和超市的最佳路线。
为了从数学角度分析最短路径问题，研究者们使用图论的语言——图是由点（或称节点）组成的网络，这些点通过线连接起来。每条连接线都标有一个数字，叫作权重，它可以代表这段线的长度或穿越它所需的时间。
通常，任意两个节点之间都有很多路径，最短路径就是那些权重加起来最小的路径。给定一个图和一个特定的「起点」，算法的目标就是找到到其他每个节点的最短路径。
在 1956 年，计算机科学先驱埃兹赫 · 迪杰斯特拉（Edsger Dijkstra）设计了日后最著名的最短路径算法。
它从起点开始，一步步向外扩展。
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「Dijkstra 算法如何找到最短路径」
Dijkstra 算法从网络中的一个特定点开始，找到到每个其他点的最短路径。它按距离从近到远的顺序找到这些路径。
Dijkstra 算法的基本步骤：
从 A 点开始：
你看到两条路径。B 点距离 1 单位，C 点距离 5 单位。你现在知道到 B 的最短路径，但可能有一条更短的间接路径到 C。 最短路径：A → B = 1
跟随最短路径：
前往 B，然后再观察一次，记录从 A 到每个点的总距离。D 点比 C 点离 A 更近。最短路径：A → B = 1；A → D = 2
继续探索:
前往 D 点并再次观察，现在你已经找到了到 C 的最短路径。最短路径 ：A → B = 1；A → D = 2；A → C = 3。
从起点开始，逐步探索网络中到每个点的最短路径——这种方法很有效，因为知道到附近节点的最短路径，能帮助你找到到更远节点的最短路径。
但最终结果是一个按距离排序的最短路径列表，因此排序瓶颈设定了算法速度的根本限制。
1984 年，Tarjan 和另一位研究者改进了迪杰斯特拉的原始算法，使其达到了这个速度极限。任何进一步的改进都必须来自一个避免排序的算法。
在 20 世纪 90 年代末和 21 世纪初，Thorup 和其他研究者设计出了打破排序瓶颈的算法。
从左至右：Bernhard Haeupler、Václav Rozhoň（上方）、Jakub Tětek（下方）、Robert Tarjan 和 Richard Hladík 证明了 Dijkstra 算法的一个版本是对所有网络布局的最佳解决方案
他们需要对权重做出某些假设。没人知道如何将这些技术扩展到任意权重上。似乎他们已经走到了尽头。
研究停滞了很长一段时间，很多人相信没有更好的办法了。
但清华的段然不是其中之一。他长期梦想构建一个能在所有图上突破排序瓶颈的最短路径算法。去年秋天，他终于成功了。
「超越排序」
段然对排序瓶颈的关注可以追溯到近 20 年前。
那时，他在密歇根大学读研究生。他的导师是研究如何在特定情况下打破排序瓶颈的学者之一。
但直到 2021 年，段然才找到一个更有前景的方法。
关键在于关注算法每一步的下一步走向。
迪杰斯特拉的算法会利用之前已探索的区域，决定下一步通过扫描这个区域的「边界」——也就是所有与边界相连的节点。起初这不会花太多时间，但随着算法推进，速度会变慢。
段然则设想将边界上的相邻节点分组，形成多个集群。每一步只考虑每个集群中的一个节点。由于需要筛选的节点减少了，每一步的搜索都能更快。算法可能不会总是选择最近的节点，因此排序瓶颈不再适用。但要确保这种基于集群的方法确实能加速算法，而不是让它更慢，是一个挑战。
在接下来的一年里，段然完善了这个基本想法。
到 2022 年秋天，他乐观地认为自己能克服技术难题。
他拉来三位研究生帮忙细化细节，几个月后，他们取得了部分成功——开发出了一种算法，打破了任意权重下的排序瓶颈，但仅适用于所谓无向图。
在无向图中，每条连接线都可以双向通行。计算机科学家通常更关注包含单向路径的更广义的图类，但这些「有向图」往往更难处理。
这次新论文的合著者、斯坦福大学计算机科学博士生毛啸说：「（在有向图中）可能存在一种情况，A 到 B 很容易，但 B 到 A 却很困难。这会给你带来很多麻烦。」
「希望之路」
2023 年夏天，在加州的一场学术会议上，毛啸聆听了段然关于无向图算法的演讲。他主动与这位仰慕已久的学者攀谈起来。
那是他第一次在现实中见到段然，当时非常激动。
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「随机性如何优化算法」
「会议结束后，毛啸开始利用业余时间思考这个问题。与此同时，段和他的团队正在探索适用于有向图的新方法。他们从最短路径问题的另一经典算法——贝尔曼 - 福特算法中汲取灵感。」
贝尔曼 - 福特算法不生成排序列表，但初看却像是个糟糕的选择：它的速度远逊于迪杰斯特拉算法。
计算机科学家米克尔 · 索鲁普补充道：「科研就是不断尝试有潜力的路径。但借鉴贝尔曼 - 福特算法简直像在反其道而行——这看起来蠢透了。」
段然的团队通过分阶段运行贝尔曼 - 福特算法避开了其低速缺陷。这种选择性使用让他们能预先侦察后续步骤中最有价值的节点，这些节点如同交通网络中的核心枢纽。
计算机科学家米克尔 · 索鲁普解释道：「要获取多数目的地的最短路径，你必须经过这些关键点」。
2024 年 3 月，毛啸提出另一创新思路。
原算法中某些关键步骤依赖随机性，虽然随机算法能高效解决许多问题，但学界仍更青睐确定性方案。
毛啸设计出无需随机化的最短路径求解方法，随后加入团队。
通过数月的群聊和视频会议，他们最终在秋季取得突破——段然教授意识到可借鉴其 2018 年解决另一类图问题时突破排序障碍的技术，这正是补齐最后一块拼图的关键。
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「层进式革新」
最终算法将图分层处理，像迪杰斯特拉算法那样从源头向外推进。
但其精妙之处在于：通过贝尔曼 - 福特算法定位关键节点后优先探索，稍后回溯处理其他边界节点。由于不严格按距离顺序探索每层节点，排序障碍自然失效。若采用恰当的分层策略，其速度甚至略超优化版迪杰斯特拉算法。
这个由多个精密模块组成的算法虽复杂，却意外地未使用任何高深数学工具。
计算机科学家米克尔 · 索鲁普感慨万分：「这套方法本可能在五十年前就被发现，但直到现在才问世。这才更显其非凡。」
段然团队正着手优化算法以追求更快的速度。随着排序障碍的攻克，新算法的运行效率已远超现有理论极限。
参考资料：
