17岁的巴哈马高中生汉娜·开罗在完成大学教授的课后作业时，成功解决了困扰数学界四十余年的沟畑-竹内猜想，并给出了一个反例，证明该猜想不成立。这一突破性的成果让她在国际会议上进行了报告。沟畑-竹内猜想与调和分析等多个数学分支紧密相关，其解决或证伪对相关领域的研究具有重要意义。汉娜的研究不仅展现了年轻一代在数学领域的潜力，也再次印证了灵感与严谨并存是解决数学难题的关键。

🌟 17岁高中生汉娜·开罗通过课后作业，成功推翻了沟畑-竹内猜想。该猜想由日本数学家沟畑茂和竹内二郎提出，涉及偏微分方程的柯西问题解的适定性，并与调和分析中的施泰因猜想等重要问题相关联，困扰数学界长达四十余年。

💡 沟畑-竹内猜想的起源可追溯至竹内二郎关于偏微分方程适定性的论文，以及沟畑茂对其证明的质疑。两人未能明确证明或证伪该猜想，使其成为一个“具有独特魅力”的数学难题，激发了后续研究。

🌉 沟畑-竹内猜想的普遍化与调和分析中的施泰因猜想紧密相连，后者被视为“加强版”的沟畑-竹内猜想，并与挂谷猜想、限制性问题等调和分析中的核心问题存在逻辑递进关系。汉娜的反例同时也证明了施泰因猜想的不成立。

🚀 汉娜的研究过程充满了挑战与自我怀疑，她多次修改和完善反例，最终才确信其正确性。这体现了数学研究的严谨性，即证明一个猜想不成立仅需一个反例，但找到这个反例却异常艰难，需要细致的论证和反复的检查。

🌱 尽管推翻了原猜想，汉娜并未止步，她本人也在论文中提出了一个弱化版的沟畑-竹内猜想。这表明她对该领域的研究仍在继续，并将在导师指导下攻读博士学位，开启其数学研究的新篇章。

2025年早些时候，一名来自巴哈马群岛的17岁女高中生汉娜·开罗（Hannah Cairo）在完成一份课后作业的过程中，解决了一项距今已有四十余年历史的数学猜想——沟畑-竹内猜想。

从巴哈马移居美国之后，汉娜在美国接受了高中教育，并以高中生身份旁听了大学课程。（资料图）

这份课后作业来自美国加州大学伯克利分校的助理数学教授张瑞祥。在这份作业中，张瑞祥要求学生们证明沟畑-竹内猜想的一个简化版本。与此同时，张瑞祥还将完整版本的沟畑-竹内猜想作为附加的思考题，附在了这份作业的最后。

从巴哈马移居美国之后，汉娜在美国接受了高中教育，并以高中生身份旁听了包括张瑞祥的课程。在花费了几个月的时间之后，汉娜不仅解决了这份作业中简化版本的沟畑-竹内猜想，还给出了完整版本的沟畑-竹内猜想的一个反例，从而证明了沟畑-竹内猜想不成立。

因为这项结果，在2025年6月9日至13日举行的第12届调和分析与偏微分方程国际会议上，汉娜受邀作了15分钟的短报告。

沟畑-竹内猜想的由来

汉娜解决的沟畑-竹内猜想，是以两位日本数学家，沟畑茂（MizohataSigeru）和竹内二郎（TakeuchiJiro）的姓氏命名的。

1974年和1980年，竹内二郎先后发表了两篇关于某一类偏微分方程的柯西问题的解的适定性的论文。在这两篇论文中，竹内二郎给出了判定该类型方程的柯西问题的解的适定性的充分条件。

在这里，偏微分方程的柯西问题，指的是在一区域内的超曲面上给定初始条件的情况下，研究偏微分方程解的存在性和唯一性的经典问题。这一问题以法国数学家奥古斯丁-路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）的名字命名。而偏微分方程解的适定性指的是，偏微分方程存在解，同时该方程的解是唯一的，并且当方程的初始条件改变时，该方程的解的变化是连续的。在数学上，具有适定性的偏微分方程的解一般会被看成是性质“比较好”的解。

竹内二郎的想法，在偏微分方程这一数学领域的研究中是一种很常见的思路。即所谓的“先验估计”。这种做法，先假定要研究的偏微分方程的解是存在的。然后根据方程本身的形式，去用不等式估计等方式，来寻找方程的解需要满足的条件。进而去研究偏微分方程解的性质，或者证明满足条件的解不存在。

也就是说，竹内二郎在论文中给出了一个充分条件。只要能够验证方程本身满足这个条件，那么这个方程的解就是具有适定性的。

1985年，沟畑茂在其著作《柯西问题研究》（On the Cauchy Problem）中指出，竹内二郎1980年的论文的证明是不完全的。也就是说，按照竹内二郎给出的条件，无法得出该类型方程的柯西问题的解的适定性。

在指出竹内二郎论文中的漏洞的同时，沟畑茂还提到，竹内二郎的想法和给出的条件“具有其独特魅力，并引发我们（沟畑茂）的研究兴趣”。与此同时，沟畑茂承认道，他无法证明或者证伪竹内二郎论文中的结果。

竹内二郎和沟畑茂的工作中留下的那个无法证明或证伪，但是“具有其独特魅力”的问题，就构成了最初版本的沟畑-竹内猜想。

实际上，像沟畑-竹内猜想这样，因为论文中的错误而引发更多数学家的注意，并最终发展出新的数学结果的情况，在数学研究中并不少见。其中最为知名的例子之一，就是由日本数学家山边英彦（Yamabe Hidehiko）命名的山边问题（Yamabe Problem）。

1960年，山边英彦发表了一篇论文。在这篇论文中，他尝试使用偏微分方程的方法去解决三维及以上维度的庞加莱猜想。在1968年，澳大利亚数学家尼尔·特鲁丁格（Neil Trudinger）指出，山边英彦的证明错误。最终，在1984年，尼尔·特鲁丁格和蒂埃里·奥班（Thierry Aubin）以及孙理察（Richard Schoen）彻底解决了这一问题。

山边问题的解决，和丘成桐证明的卡拉比猜想一起，标志着几何分析这一数学分支的诞生。而山边问题的进一步研究，至今仍然是相关领域的活跃问题之一。

沟畑-竹内猜想的发展

最初版本的沟畑-竹内猜想，经过数学上的一般化之后，就变成了我们现在所说的“正式版”的沟畑-竹内猜想。

这一一般化的过程，去掉了针对特定的偏微分方程的柯西问题这一限制，进而抓住了竹内二郎最开始想法的核心内容。即：解在区域内的范数，可以被沿着某一直线方向的积分所控制。

由此就得到了现在意义下的沟畑-竹内猜想：对一个给定n维欧式空间中超曲面，该超曲面上的函数的傅里叶延拓的积分，可以被该函数沿x轴方向的分布所控制。

傅里叶延拓算子是调和分析中的一个常用工具。这样，沟畑-竹内猜想这一来自偏微分方程中的猜想，就和另外一个数学分支，调和分析中的很多问题，产生了深刻的联系。

例如，1978年美国数学家埃利亚斯·施泰因（Elias M. Stein）提出了施泰因猜想。这一猜想和沟畑-竹内猜想有着类似的想法。即用某个方向的权重，去控制整个超曲面上的傅里叶变换产生的总能量。

实际上，施泰因猜想本身就可以看做是“加强版”的沟畑-竹内猜想。如果施泰因猜想成立，则可以直接宣告沟畑-竹内猜想被证明了。而施泰因猜想本身，也和调和分析中的核心问题有着很深的关系。在调和分析这一数学分支中，是四个重要的未解决的问题。即：挂谷猜想、限制性问题（Restriction problem）、博赫纳-里斯猜想（Bochner-Riesz Conjecture）和局部光滑性猜想（Local Smoothing Conjecture）。

在逻辑上，这四个问题呈现层层递进的关系，前一个猜想是后一个猜想的必要条件。举个例子，如果挂谷猜想不成立，则限制性问题必然不成立，进而博赫纳-里斯猜想和局部光滑性猜想也将不成立。

其中，挂谷猜想指的是，n维挂谷集（即包含指向n维空间中所有方向的单位线段的集合）的豪斯多夫维数和闵可夫斯基维数等于n。

挂谷猜想是一个描述空间集合性质的“定性”的猜想。除此之外，挂谷猜想还有一个与之密切相关的“定量”的版本。即所谓的挂谷极大猜想。挂谷极大猜想考虑的是，当用细长的管子代替没有体积的线段之后，挂谷集中这些细管相互之间重叠程度的极限情况将会是怎么样的？

在假设挂谷极大猜想成立的情况下，利用施泰因猜想，就可以直接得出限制性问题是成立的。

也就是说，施泰因猜想，在调和分析四大问题中的挂谷猜想和限制性问题之间，架起了一座桥梁。

正因为此，施泰因猜想，以及其弱化版本，沟畑-竹内猜想，也一直是调和分析相关领域的数学研究者们关心的一个问题。

但是在此之前，数学家们所能证明的，都只是在沟畑-竹内猜想中添加一个调整系数，所得到的“弱化版”沟畑-竹内猜想。

所有这些“弱化版”沟畑-竹内猜想当中的最佳结果，就来自证明了三维挂谷猜想的王虹。在2024年，王虹及其合作者证明了，在添加一个调整系数R^((n-1)/(n+1)+ε)的情况下，“弱化版”沟畑-竹内猜想是成立的。

作业中的数学猜想

汉娜构造的反例，不仅证明了沟畑-竹内猜想是不成立的，也证明了施泰因猜想是不成立的。

这一切都起始于张瑞祥布置的那份课后作业。

虽然看上去像是小说中才有的情节。但是，实际上，这种因为“课后作业”而解决数学难题的事情，在数学家当中曾经发生过不止一次。

例如，被誉为“线性规划之父”的乔治·伯纳德·丹齐格（George Bernard Dantzig），就曾在自己的学生阶段完成过这样的事。

1939年，当时还不满25岁的丹齐格正在伯克利攻读博士学位。有一次，上课迟到的丹齐格把黑板上的两个问题当成了课后作业。几天后，丹齐格把这两道“似乎比平时的作业要更难一些”的题目的完整解答交给了老师。而丹齐格的老师却惊讶地表示，那两个问题是当时统计学中最为知名的两个未解决的难题。他在那节课一开始把它们写在黑板上，是为了告诉学生们，这门学科有多深奥。

和丹齐格有着类似经历的，还有菲尔兹奖、阿贝尔奖和沃尔夫奖三大数学奖项得主约翰·米尔诺（John Milnor）。

1949年，时年19岁的米尔诺还是一名普林斯顿大学的本科生。在一次微分几何课上，米尔诺得知了波兰数学家卡罗尔·博苏克（Karol Borsuk）提出的一个有关根据曲率判断扭结可解性的猜想。没过多久，米尔诺就解决了这个猜想。这一结果后来被米尔诺写成了论文《论扭结的全曲率》（On the Total Curvature of Knots），并于1950年发表在《数学年刊》上。

丹齐格、米尔诺和汉娜的第一次研究成果，体现了数学研究的另外一面。

虽然数学研究，在绝大多数情况下，也像其他所有的科学研究一样，需要长期的积累和探索。但是，正所谓“踏破铁鞋无觅处，得来全不费工夫”，在某些时候，突然涌现的灵感，对于数学难题的破解，也会起到意想不到的重要作用。

这一点，在这次汉娜解决沟畑-竹内猜想的过程中显得尤为明显。

对于一个数学猜想，要证明它是正确的，需要给出完整清晰的证明过程。但是，要证明它是不成立的，则只需要举出一个反例即可。这种“一票否决”的特性，正是数学这一学科逻辑严谨性的体现。

这也正是汉娜所做的工作。

但是，对于一个数学猜想来说，找到符合条件的反例也并非易事。正如汉娜本人事后回忆道：“我多次以为自己找到了答案，但后来发现有错。有时觉得能证明猜想，有时又觉得能推翻它。我找到过看似答案的东西，但99%都错了。这让我对自己产生怀疑，即使有了反例的灵感，我也不敢相信。毕竟，这么多比我聪明的人研究了这么久……我自己也花了不少时间理解。需要仔细检查论证细节，确保无误。一开始我的反例很复杂，后来我简化了它。”

汉娜给出的反例证明了沟畑-竹内猜想是不成立的。但是，仅仅到这一步，对于沟畑-竹内猜想及其相关问题的研究还未停止。

从数学上看，沟畑-竹内猜想，以及与之相关的施泰因猜想所要求的结论有些过于严格。在适当放宽条件的情况下，也许能够找到一个弱化版本的命题，同样能够满足调和分析研究者们的需要。这也正是为什么，王虹等人能够给出弱化版沟畑-竹内猜想的证明，并不断改进相关结果。

实际上，在给出沟畑-竹内猜想的反例的同时，汉娜本人也在同一篇论文中给出了一个弱化版沟畑-竹内猜想的形式。这表明，汉娜并未将解决沟畑-竹内猜想视为一个可以让自己放松的成就。

今年秋天起，汉娜将在张瑞祥的指导下，在美国马里兰大学开始攻读自己的博士学位。她的数学研究之路，现在才刚刚正式开始。