导语

复杂系统都是高维非线性体系，具有层级结构和涌现动力学，能够学习和适应环境变化。研究复杂系统，首先要熟悉其定量描述方式以及各种刻画方式的优势和不足。

作为「重整化群分析在非线性物理中的应用」第一课，在7月26日（周六）14:00-16:00 兰岳恒教授将带领大家学习动力学、统计物理、网络科学等定量描述复杂系统的方式，以及这些刻画方式的优势和不足，并共同思考“我们的理论究竟要解决什么问题，怎样解决，需要具备哪些特征？如何直面现实世界的复杂性来建立合适的模型？”

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主题：复杂系统及其建模

课程简介

从凝聚态物理中的相变现象，到高能物理中的量子场论，从生物系统中的蛋白质折叠，到宇宙学中的结构形成，从金融市场的价格波动，到神经网络的学习过程——这些看似风马牛不相及的复杂系统都有一个共同的特征，它们都是高维非线性体系，具有层级结构和涌现动力学，能够学习和适应环境变化。

要真正理解这些复杂系统，我们需要掌握多种定量描述方法，并深入了解每种方法的优势与局限性。传统的动力学描述方法继承了经典物理学的力学分析传统，虽然精确严谨，但往往面临方程难解的困境；统计物理在处理多体相互作用系统方面取得了辉煌成就，然而在非平衡体系中却遭遇了前所未有的挑战；而作为两者综合、平衡与拓展的网络科学，虽然展现出巨大的生命力和应用潜力，但距离完美的理论体系仍有很长的路要走。

本课程将带领大家深入思考一系列根本性问题：我们的理论究竟要解决什么核心问题？应该采用怎样的研究路径？一个复杂系统理论需要具备哪些关键特征？如何直面现实世界的复杂性来建立合适的模型？通过这些探讨，我们希望能够抛砖引玉，激发大家对复杂系统科学的深度思考，并在这个充满挑战与机遇的前沿领域中找到属于自己的研究方向和学术共鸣。

课程大纲

1. 复杂系统及其特征

a. 本部分是复杂系统建模的总体介绍。通过具体例子展示世界的复杂性，阐述了建模作为连接局部与全局信息工具的重要性。详细分析了复杂系统的四大特征：层级结构、涌现行为、适应性和不确定性。并反思理论现状，肯定了非线性动力学和统计力学的成就，同时指出了高维性、异质性、层级性、缺乏精确数学描述、数据和参数中的噪声或缺失等五大挑战。为后续理论学习奠定基础。

2. 非线性动力学

a. 首先介绍了非线性动力学的基本框架。建立动力系统的数学表示：用微分方程组描述系统状态演化，引入相空间作为几何表示工具。

b. 关于混沌与普适性，介绍倍周期通向混沌路径展示了非线性动力学中最重要的普适性现象：从简单的Logistic映射到复杂的Rössler连续系统，再到实际的水银对流实验，完全不同的物理系统都遵循相同的倍周期分岔序列，并且都具有相同的费根鲍姆常数 δ ≈ 4.669，这个普适常数描述了连续分岔点间距的收敛比率，揭示了看似随机的混沌现象背后隐藏着深刻的数学结构和普适规律，是复杂性科学中“简单规则产生复杂行为”的经典范例。

c. 关于复杂动力学中的模式，本部分揭示从Lorenz方程的确定性混沌到湍流的时空复杂性之间的深刻联系，这种“有序中的无序”通过多尺度能量级联、符号动力学分解和统计描述得以理解，体现了复杂系统中确定性与随机性的统一，为从分子动力学到气候系统的广泛非线性现象提供了统一的理论框架。

3. 统计物理思想

a. 面对高维相空间中极端复杂的轨道行为，通过粗粒化方法引入统计描述，并利用重整化群实现动力学与统计物理的理论统一。

b. 平衡态情况下，基于等概率假设和最大熵原理，通过配分函数建立统计物理的完整数学框架。

c. 非平衡态下，通过朗之万-福克普朗克方程体系和SRB测度理论，建立包含噪声、耗散和非线性相互作用的统计物理描述框架。

4. 复杂网络建模

a. 复杂网络作为统一描述结构与动力学的建模框架，通过节点-边的抽象实现了从拓扑特性到动态过程的系统性分析。

b. 通过自旋玻璃理论框架，将生物系统中的复杂构型问题转化为能量景观优化和神经网络记忆存储的统计物理模型。

c. 通过能量景观和超度量性理论深化复杂系统理解，同时指出当前网络理论在结构-动力学统一描述方面的根本局限和发展方向。

5. 总结

a. 复杂系统建模需要在确定性精确度和统计普遍性之间找到平衡，网络理论结合两者优势但仍需重整化群理论提供动力学约化工具来实现完整描述。

专业术语

复杂系统、建模框架、层级结构、涌现、非线性动力学、动力系统、相空间、不变集、分岔理论、轨道结构、倍周期分岔、费根鲍姆常数、分岔级联、普适性、混沌阈值、符号动力学、粗粒化、统计描述、重整化群、最大熵原理、配分函数、正则系综、平衡态统计、非平衡统计物理、朗之万方程、福克-普朗克方程、SRB测度、随机热力学、复杂网络、拓扑结构、无标度网络、小世界网络、自旋玻璃理论、Hopfield网络、能量景观、Hebb学习规则、超度量性、结构-动力学对应、动力学约化工具

课程信息

课程主题：复杂系统及其建模

课程时间：2025年7月26日（周六） 14:00-16:00

课程形式：腾讯会议（会议信息见群内通知）；集智学园网站录播（3个工作日内上线）

课程主讲人

兰岳恒，北京邮电大学物理科学与技术学院教授，博士学位在佐治亚理工学院（Georgia Institute of Technology）获得。先后在国内外多个著名大学学习和工作过，有丰富的学科交叉研究经历。主要从事非线性科学、统计物理、生物物理、复杂信息和智能系统等方面的研究工作，注重基本理论方法的发展和与实验紧密结合的应用。现为北京邮电大学“数学与信息网络”教育部重点实验室副主任，多次被邀请在国内外学术会议上报告自己的工作，同时担任期刊“理论物理通信”（Communications in Theoretical Physics）和“现代数学物理”（Modern Mathematical Physics）的编委，也是多个国际著名杂志的审稿人。发表学术论文100余篇，包括国际顶级杂志PRL， PNAS， Nature子刊论文多篇。

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你知道吗？费根鲍姆常数可以由重整化群计算，相变临界点可以由重整化方法得出，深度神经网络的多层计算就是在对图像做重整化。重整化群是考察不同尺度下物理规律变化的数学工具，帮助我们理解系统在大范围内或临界点附近的行为。集智学园联合北京邮电大学兰岳恒教授开设「重整化群分析在非线性物理中的应用」系列课程，系统讲述重整化群这一理论框架，怎样用来分析高维非线性系统的性质，实现方程的求解与约化。本系列课程将回答如下问题：

从有限的观测提取一般性规律建模的原则和常见框架是什么？

怎样写出系统重要结构和运动模式的近似解析表达式？

怎样将对称性、不变性、基本范式等先验知识放到系统解析描述中？

怎样建立系统不同层级动力学间联系的方程？

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详情可见：重整化群与非线性物理，寻找复杂系统跨尺度的分析方法丨新课发布

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