本文深入浅出地介绍了向量空间中的“基”的概念。从二维空间的标准基i和j出发，阐述了如何通过基向量的线性组合来表示任意向量，并将其引申到更一般的基定义。文章重点讲解了线性相关性，即当一组向量中的某个向量可以由其他向量通过缩放和加和得到时，它们就不能构成空间的基。此外，文章还探讨了三维及更高维度空间中基的概念及其张成的空间，为理解向量空间提供了清晰的框架。

🔹 **标准基的概念与向量表示**：在二维向量空间中，标准基由向量i=[1,0]和j=[0,1]组成。它们分别沿x轴和y轴长度为1且相互垂直。任何二维向量都可以表示为对i和j的缩放后相加的结果，这提供了一种新的向量理解方式，即向量分量是对基向量的缩放系数。

🔹 **一般基与张成空间**：除了标准基，还可以定义非标准基，例如向量a=[2,1]和b=[-1,1]。通过对基向量进行线性组合（数乘和向量加法），可以张成一个向量空间。标准基i和j以及向量a和b都能张成整个二维空间。

🔹 **线性相关与基的排斥**：当一组向量中的一个向量是其他向量的线性组合时，它们被称为线性相关。例如，a=[2,2]和b=[1,1]是线性相关的，因为a是b的2倍。线性相关的向量组不能构成一个向量空间的基，因为它们张成的空间维度会受限，无法覆盖整个空间。

🔹 **多维空间基的扩展**：三维空间的标准基由i=[1,0,0]，j=[0,1,0]，k=[0,0,1]组成。文章进一步探讨了三个向量张成空间的可能性（三维空间、平面、直线或点），以及两个向量张成的空间（面、直线或点）。该思想可推广至n维空间，n维空间存在标准基和非标准基，m个向量张成的空间维度不超过m。

🔹 **基的定义与应用**：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关的向量组。理解基的概念使得我们可以将向量分量视为对基向量的缩放系数，这在数学和物理学中具有广泛的应用。文章最后提及了B站更新视频教程，欢迎搜索RethinkFun观看。

2.2 向量的基

2.2.1 标准基

在二维向量空间里有两个非常特殊的向量：

$\mathbf{i} =\begin{bmatrix}1 \\0 \end{bmatrix}\qquad \mathbf{j} =\begin{bmatrix}0 \\1\end{bmatrix}$

这两个向量分别沿x轴长度为1，沿y轴长度为1，互相垂直。

有了这两个向量，可以对其他向量有一个新的理解方式。也就是一个二维向量里的第一个分量是对i向量的缩放，第二个分量是对j向量的缩放。然后将缩放后的向量加起来就是这个向量。也就是说不把向量里的数字看成坐标，而是看成对i和j向量的缩放。比如对于如下向量 a。

$\mathbf{a} =\begin{bmatrix}3 \\2 \end{bmatrix}$

它可以看做是对 i 向量缩放3倍，对 j 向量缩放2倍，然后加和组成的向量。

通过对向量 i 和 j 进行线性运算，也就是进行数乘和向量加法，你可以得到二维向量空间里的任何一个向量。向量 i 和 j 可以作为构成其他向量的一个基础。所以称为二维空间的一组“基”。而且因为它们两个向量比较特殊，只在一个坐标轴上有值，而且值为1，彼此互相垂直，所以称为标准基。二维空间标准基里的两个向量一般用 i 和 j 表示。

2.2.2 一般基

你还可以定义一些非标准的基，比如你可以用下边两个向量 a 和 b 来定义一个基。

$\mathbf{a} =\begin{bmatrix}2 \\1 \end{bmatrix}\qquad \mathbf{b} =\begin{bmatrix}-1 \\1\end{bmatrix}$

通过观察，不难发现，通过对 a 和 b 的缩放和加和，也是可以到达二维平面的任意一个点的。

通过一组向量的线性组合，可以到达的向量空间，叫做它们“张”成的空间。单位向量 i 和 j，还有上边定义的向量 a 和 b 张成的空间都是整个二维空间。

2.2.3 线性相关

我们再看下边这一组向量：

$\mathbf{a} =\begin{bmatrix}2 \\2 \end{bmatrix}\qquad \mathbf{b} =\begin{bmatrix}1 \\1\end{bmatrix}$

它们两个向量在同一个直线上，它们两个任意线性组合，也就是通过数乘缩放和向量相加，所能生成的向量还在这条直线上。也就是这两个向量张成的空间就是这条直线。此时，这两个向量就不能构成一个基。因为他们线性相关。

线性相关：如果一组向量里至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么就称这一组向量线性相关。

比如上边的向量 a 就可以用 b 缩放2倍获得，所以它们两个是线性相关的。

2.2.4基的定义

下边我们给出基的定义：

基：向量空间的一组基是指张成该空间的一个线性无关的向量组。

有了基的定义，每个向量里的分量都可以看成对基里边对应向量的缩放，然后加和得到的向量。一般不做说明，都是对标准基进行缩放和加和。

2.2.5更高维度的基

三维向量的标准基里的向量一般用 i，j，k 向量来表示。他们分别位于 x，y，z 轴上，长度为1，彼此垂直。

$\mathbf{i} =\begin{bmatrix}1 \\0 \\0\end{bmatrix}\qquad \mathbf{j} =\begin{bmatrix}0 \\1\\0\end{bmatrix}\qquad \mathbf{k} =\begin{bmatrix}0 \\0\\1\end{bmatrix}$

下边的向量，可以看做对 i 缩放2倍，对 j 缩放8倍，对 k 缩放7倍，再相加得到。

$\mathbf{x} =\begin{bmatrix}2 \\8 \\7\end{bmatrix}$

三维空间里的3个向量可以张成的空间有哪些呢？

最大可能是张成整个三维空间。

其次，如果三个向量里的其中一个可以通过另外两个线性组合得到，也就是位于另外两个向量张成平面里，那么它们三个向量张成的空间就是一个面。

还有一种情况，就是三个向量里的两个向量，都可以通过第三个向量经过缩放得到，也就是两个向量都处于第三个向量张成的线上，那么它们三个向量张成的空间就是一条直线。

最后一种情况，就是三个向量都是0向量，也就是向量的各个分量都是0，那么它们张成的空间就是一个点，零点。

三维空间里的2个向量可以张成的空间包含哪些呢？

不难想象，可以是一个面，一条直线，或者零点。

这种思想你可以延伸到 n 维空间，n 维空间也有自己的标准基，标准基里的向量分别位于不同的轴线上，长度为1，彼此垂直。n 维空间也有非标准基。n 维空间里的m （m小于等于n）个向量张成的空间维度小于等于m。

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