本文深入浅出地介绍了向量的概念，首先从物理学中带箭头的线段表示出发，强调了其大小和方向的属性，以及在二维或三维空间中的应用和加减乘运算。随后，文章转向机器学习领域，将向量定义为一组有序的数值，并以学生的身高、体重、年龄数据为例，详细阐述了向量的加法和数乘运算，展示了如何通过这些运算得到平均值等统计结果。最后，文章还抽象了线性代数中向量的定义，即由n个标量组成的有序数列，并提及了向量的模长计算，为理解向量在不同领域的应用奠定了基础。

🧮 物理学中的向量：在物理学中，向量被形象地表示为带箭头的线段，它同时具备大小和方向两个属性，常用于描述力、速度等物理量。向量的长度代表其大小，箭头的方向代表其方向。向量支持加减法和数乘运算，例如力的合成可以通过向量加法（三角形法则）实现，数乘则用于缩放向量的大小。

📊 机器学习中的向量：在机器学习领域，向量被视为一组有序的数值，其顺序至关重要。例如，一组学生的年龄、身高、体重可以构成一个向量。向量的加法是将对应位置的数值相加，数乘则是将向量中的每个数值乘以一个标量，这些运算在数据分析和模型构建中扮演着核心角色。

🔢 线性代数中的向量：线性代数对向量进行了更抽象的定义，将其视为由n个标量（称为分量）组成的有序数列，可以是行向量或列向量。向量存在于向量空间中，可以用起点在原点的箭头表示，箭头的终点坐标即为向量的分量。向量的长度（模）可以通过各分量平方和的平方根计算得出。

➕ 向量的计算：向量的加法和数乘是线性代数中的基本运算。两个向量相等意味着它们的每个分量都相等。向量加法是对应分量相加，如计算两个同学的平均身高，需要先将他们的身高向量相加再进行数乘。向量的数乘用于缩放向量，改变其大小而不改变方向（除非标量为负）。向量减法可以通过将减数向量乘以-1再相加来实现。

2.1什么是向量

线性代数里主要是对向量进行计算，但在学习向量之前，首先对标量进行定义。

2.1.1 标量

标量（Scalar）是一个单一的数值，比如你的年龄，你的体重都是一个标量值。

2.1.2 向量的定义

接下来我们来讨论向量。不同背景的人可能对向量的理解不同。

物理里的向量物理里的向量用带箭头的线段来表示。确切的说它是一个自由向量，它只关心向量的大小和方向，而对这个向量在空间里的位置不关心。可以用这个向量表示力，速度这样既有大小又有方向的物理量。其中线段的长度表示这个物理量的大小，箭头的方向表示物理量的方向。因为物理研究的是现实世界，它的向量只存在于二维或者三维空间里。

并且我们知道，在物理里的向量是可以进行加减法和数乘的。

比如作用在同一点上的两个力可以组成合力，可以用三角形法则进行计算。也就是将向量$f_1$和向量$f_2$首尾相连，在从$f_1$的尾连接到$f_2$的首构成的向量，就是$f_1$和$f_2$两个向量的和。物理里也可以对向量进行数乘，表示对向量进行缩放，比如对一个速度乘以0.4，表示速度大小为原来的0.4倍，但是方向不变。

机器学习里的向量 机器学习里的向量表示一组有序的数。比如你收集学生们的年龄，身高，体重。那么收集时这3个数字排列顺序是至关重要的。比如你收集了两个同学的数据。然后你想计算这两个人的平均年龄，平均身高和平均体重。

$\mathbf{x} =\begin{bmatrix}12 \\175 \\60\end{bmatrix}\mathbf{y} =\begin{bmatrix}13 \\145 \\50\end{bmatrix}$

那么你首先把这两个向量对应位置的值相加。

$\mathbf{x+y} =\begin{bmatrix}12+13 \\175+145 \\60+50\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}25 \\320 \\110\end{bmatrix}$

然后对求和后向量里的每个值乘以0.5。

$\mathbf{mean} =0.5\times\begin{bmatrix}25 \\320 \\110\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0.5\times25 \\0.5\times320 \\0.5\times110\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}12.5 \\160\\55\end{bmatrix}$

最后得到的向量就表示这两个同学的平均年龄，身高，和体重。也是对这个向量进行加法和数乘的计算。

线性代数里的向量

线性代数对向量进行了抽象定义，向量（Vector）是由 n 个标量组成的有序数列。其中这些标量值称为向量的元素或者分量。第 i 个标量称为向量的第 i 个分量。n 称为这个向量的维度。这个 n 维向量可以排成一行，也可以排成一列，分别称为行向量和列向量。一般在线性代数里习惯用列向量。比如上边收集到的学生年龄，身高，体重的数据，可以如下表示：

$\mathbf{x} =\begin{bmatrix}12 \\175 \\60\end{bmatrix}$

在本书里向量用小写粗体来表示。上边的x就是一个3维列向量。第一个分量表示年龄，第二个分量表示身高，第三个分量表示体重。

线性代数中的向量，必须存在于一个坐标系内，也叫做向量空间。用一个箭头表示，起点必须在原点，箭头的坐标是一组有序的数，就代表这个向量。

向量的长度，叫做向量的模。对于向量v的模，用下边符号表示。

$\left | v \right |$

假如向量v由n个分量构成$v_1,v_2,...v_n$，则：

$\left | v \right | =\sqrt[2]{v_1^{2}+v_2^{2}+...+v_n^{2} }$

2.1.2 向量的计算

线性代数里主要研究向量间的加法和数乘运算。

两个向量相等的比较

只有两个向量它们每个分量的值都相等时，这两个向量才相等。以上边表示年龄，身高，体重的向量为例，也就是说只有两个人的年龄相等，身高相等，体重相等，才说这两个向量是相等的。因为只有对应维度的数据比较才有意义。

两个向量的相加

$\mathbf{x_1} =\begin{bmatrix}12 \\175 \\60\end{bmatrix}\mathbf{x_2} =\begin{bmatrix}11 \\160 \\50\end{bmatrix}$

$\mathbf{x_1+x_2} =\begin{bmatrix}12 \\175 \\60\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}11 \\160 \\50\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}23 \\335 \\110\end{bmatrix}$

对两个向量进行的另一个常见操作是相加，两个向量相加，是对应分量进行相加。比如你收集了两个同学的年龄，身高，体重信息，组成了两个向量，你要把这两个向量进行加和，则他们的年龄和年龄，身高和身高，体重和体重分别相加。最终的结果表示两个同学年龄的和，身高的和，体重的和。

这里向量加法和物理中向量加法并不冲突，也可以根据三角形法则进行计算。

向量的数乘向量的数乘，表示对向量的缩放，缩放的英语单词为scaling，标量的英语是scalar。在向量运算里标量的作用就是对向量进行缩放。数乘对向量的缩放是通过对向量的每个分量进行缩放进行的。特别的是，如果缩放的标量为负值，则缩放后的向量与原向量的方向相反。

向量的减法有了向量的加法和数乘定义，自然就有了向量的减法。向量a减去向量b，可以让b缩放-1，然后a与缩放-1倍的b相加。

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