本文深入探讨了聚类分析中距离度量的核心作用，强调了选择合适距离度量方法的重要性，它能帮助我们发现数据中隐藏的模式。文章详细介绍了包括闵可夫斯基距离、汉明距离、杰卡德距离和余弦距离等多种常用的距离度量方法，阐述了它们的原理、代码实现，并通过scikit-learn库提供了示例。此外，还讨论了距离度量需满足的非负性、同一性、对称性和三角不等式等基本性质，以及如何针对连续和离散属性选择合适的距离计算方式。本文旨在帮助读者理解并应用不同的距离度量方法，从而提升聚类分析的效果。

📏**闵可夫斯基距离**：作为一种通用的距离度量方法，通过调整参数p可以转换为曼哈顿距离（p=1）、欧几里得距离（p=2）或切比雪夫距离（p→∞），适用于不同的数据特征和空间结构。

🔢**汉明距离**：主要用于衡量两个等长字符串或序列之间的差异，通过计算对应位置上不同字符的个数来评估相似度，常用于离散属性的比较。

🤝**杰卡德距离**：用于衡量两个集合之间的相似性，通过计算交集与并集的比值来评估集合的重叠程度，适用于稀疏数据，能够有效处理集合差异。

📐**余弦距离**：通过计算向量夹角的余弦值来衡量方向上的相似性，常用于文本分析中，尤其适用于处理高维数据，关注向量的方向而非大小。

在聚类分析中，距离度量是核心概念之一，它决定了数据点之间的相似性或差异性，从而影响聚类结果的质量。

选择合适的距离度量方法，就像为数据选择合适的**“观察视角”**，能够帮助我们发现隐藏的模式结构。

本文将详细介绍几种常用的聚类距离度量方法，包括它们的原理、代码实现，以及这些方法满足的基本性质。

1. 常用距离度量

1.1. 闵可夫斯基距离（Minkowski Distance）

闵可夫斯基距离是一种通用的距离度量方法，它涵盖了多种常见的距离计算方式。

其公式为：$D(x,y)=\left(\sum_{i=1}^{n}|x_i-y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}$

当$p=1$时，它是曼哈顿距离（Manhattan Distance），适用于网格状空间，例如城市街区。当$p=2$时，它是欧几里得距离（Euclidean Distance），是最常用的距离度量方式，适用于连续变量。当$p\to\infty$时，它趋近于切比雪夫距离（Chebyshev Distance），即各维度差的最大值。

基于scikit-learn库计算这些距离非常简单：

from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distancesimport numpy as np# 示例数据x = np.array([[1, 2, 3]])y = np.array([[4, 5, 6]])# 计算不同 p 值的闵可夫斯基距离manhattan_distance = pairwise_distances(x, y, metric='manhattan')[0][0]euclidean_distance = pairwise_distances(x, y, metric='euclidean')[0][0]chebyshev_distance = pairwise_distances(x, y, metric='chebyshev')[0][0]print("曼哈顿距离:", manhattan_distance)print("欧几里得距离:", euclidean_distance)print("切比雪夫距离:", chebyshev_distance)## 输出结果：'''曼哈顿距离: 9.0欧几里得距离: 5.196152422706632切比雪夫距离: 3.0'''

1.2. 汉明距离（Hamming Distance）

汉明距离用于衡量两个等长字符串之间的差异，即对应位置上不同字符的个数。

它常用于离散属性的比较。

代码示例如下：

from sklearn.metrics import hamming_loss# 示例数据x = np.array([0, 1, 1, 0])y = np.array([1, 1, 0, 0])# 计算汉明距离hamming_distance = hamming_loss(x, y)print("汉明距离:", hamming_distance)## 输出结果：'''汉明距离: 0.5'''

1.3. 杰卡德距离（Jaccard Distance）

杰卡德距离用于衡量两个集合之间的相似性，定义为两个集合交集的大小与并集大小的比值的补数。

它适用于稀疏数据。

代码示例如下：

from sklearn.metrics import jaccard_score# 示例数据x = np.array([0, 1, 1, 0])y = np.array([1, 1, 0, 0])# 计算杰卡德距离jaccard_similarity = jaccard_score(x, y)jaccard_distance = 1 - jaccard_similarityprint("杰卡德距离:", jaccard_distance)## 输出结果：'''杰卡德距离: 0.6666666666666667'''

1.4. 余弦距离

余弦距离通过向量夹角衡量方向相似性，常用于文本分析。

它的公式是：$cos(\theta)=\frac{X\cdot Y}{||X||\cdot ||Y||}$

实际使用常转换为余弦距离：距离 = 1 - 余弦相似度。

代码示例如下：

from sklearn.metrics.pairwise import cosine_distancesimport numpy as np# 示例数据x = np.array([[1, 2, 3]])y = np.array([[4, 5, 6]])# 计算余弦距离cosine_dist = cosine_distances(x, y)[0][0]print("余弦距离:", cosine_dist)## 输出结果：'''余弦距离: 0.025368153802923787'''

2. 距离度量的基本性质

距离度量方法通常需要满足以下基本性质，以确保其合理性和有效性：

非负性（Non-negativity）：距离必须是非负的，即$D(x,y)\geq 0$。

这意味着任意两个点之间的距离不能为负值。

同一性（Identity）：当且仅当两个点相同时，距离为零，即$D(x,y)=0$当且仅当$x=y$。

这确保了距离能够区分不同的点。

对称性（Symmetry）：距离是无方向的，即$D(x,y)=D(y,x)$。

这意味着从点$x$到点$y$的距离与从点$y$到点$x$的距离相同。

三角不等式（Triangle Inequality）：对于任意三个点$x$、$y$和$z$，满足$D(x,z)\leq D(x,y)+D(y,z)$。

这确保了距离的合理性，即直接从$x$到$z$的距离不会超过经过$y$的距离。

这些性质的意义在于，它们为距离度量提供了数学上的合理性，使得距离能够正确地反映数据点之间的相似性或差异性。

3. 连续属性与离散属性的距离

对于连续属性，常用的距离度量方法是欧几里得距离和曼哈顿距离。

这些方法基于数值的差值来计算距离，适用于数值型数据。

欧几里得距离：适用于多维空间中的连续数据，计算两点之间的直线距离。曼哈顿距离：适用于网格状空间，计算两点之间的“步数”距离。

对于离散属性，常用的距离度量方法是汉明距离和杰卡德距离。

汉明距离：适用于二进制数据或分类数据，计算两个序列中不同位置的数量。杰卡德距离：适用于集合数据，计算两个集合之间的相似性。

4. 总结

距离度量是聚类分析中的关键环节。通过选择合适的距离度量方法，可以更好地反映数据点之间的相似性或差异性。

本文介绍了几种常用的距离度量方法，包括闵可夫斯基距离、汉明距离和杰卡德距离等等，并通过代码示例展示了它们的使用方式。

同时，我们还探讨了距离度量的基本性质及其意义，以及如何针对连续属性和离散属性进行距离计算。

在实际应用中，选择哪种距离度量方法取决于数据的类型和聚类的目标。