天下苦大模型矩阵乘法久矣。

毕竟不论是训练还是推理过程，矩阵乘法作为最主要的计算操作之一，往往都需要消耗大量的算力。

那么就没有一种更“快、好、省”的方法来搞这事儿吗？

有的，香港中文大学最新一篇仅10页的论文，便提出了一种新算法：

论文作者之一的Dmitry Rybin表示：

这项研究对数据分析、芯片设计、无线通信和LLM训练都有着深远的影响！

这么算矩阵乘法，更快！

矩阵乘法是计算机科学和数值线性代数中的核心问题之一。

自从Strassen和Winograd的开创性工作以来，研究者们一直在探索如何减少矩阵乘法所需的计算量。

尽管这类运算在统计、数据分析、深度学习和无线通信等领域有着广泛应用，例如协方差矩阵的计算和线性回归中的关键步骤，但对于具有特殊结构的矩阵乘法（如计算矩阵与其转置的乘积XX^t）的研究相对较少。

从理论角度看，计算XX^t与一般矩阵乘法具有相同的渐近复杂度，因此只能通过常数因子优化来提升速度。

因此，这篇论文《XX^t Can Be Faster》提出了一种名为RXTX的新算法，通过结合机器学习搜索方法和组合优化技术，显著提升了XX^t的计算效率。

我们先来了解一下RXTX。

整体来看，这个基于4×4分块矩阵的递归乘法，通过机器学习搜索与组合优化相结合的方法发现。

算法主要包含以下关键步骤：

分块与递归调用
：将矩阵X划分为16个4×4子块，通过8次递归调用处理子问题，并计算26个一般矩阵乘积m₁至m₂₆。

对称乘积计算
：直接计算8个子块的对称乘积s₁至m₈。
结果组合
：通过线性组合上述乘积结果，得到最终的XX^t矩阵各分块元素C₁₁至C₄₄。

与此前最先进的算法（基 Strassen的递归分治）相比，RXTX的递归关系式为 R(n)=8R(n/4) + 26M(n/4)，而原算法为 S(n) = 4S(n/2) + 2M(n/2)。

这一设计使得RXTX的渐近乘法常数为 26/41≈0.6341，比原算法的2/3≈0.6667降低了约5%。

接下来，我们来看下乘法次数与运算总量分析。

通过论文中的定理1的推导，RXTX的乘法次数表达式为：

实验数据表明，当n为4的幂次时，RXTX的乘法次数比原算法低5%，且随着n增大，这一优势持续保持：

通过优化加法步骤（利用公共子表达式减少加法次数），RXTX的总运算量表达式为：

而原算法的总运算量包含对数项，导致其增长更快。

实验显示，当n≥256时，RXTX的总运算量优于原算法；当n≥1024时，显著优于朴素算法：

在6144×6144矩阵的测试中，RXTX的平均运行时间为2.524秒，比BLAS的默认实现快9%，且在99%的测试中表现更优：

尽管运行时间受硬件和内存管理影响，但理论分析表明，当n≥256时，RXTX即可展现速度优势。

值得一提的是，RXTX的发现得益于机器学习与组合优化的结合，具体流程如下：

RL代理生成候选乘积：通过强化学习策略生成大量可能的秩-1双线性乘积。

MILP枚举与筛选：

MILP-A：枚举候选乘积与目标表达式（XX^t的各分块）之间的线性关系。
MILP-B：选择最小的乘积子集，确保所有目标表达式可通过线性组合表示。

大邻域搜索迭代：通过迭代优化，逐步减少冗余乘积，提升算法效率。

这一方法借鉴了AlphaTensor的思路，但通过限制候选空间为二维张量，显著降低了计算复杂度，使得MILP求解器（如 Gurobi）能够高效处理。

论文地址：
https://arxiv.org/abs/2505.09814

参考链接：
[1]https://x.com/DmitryRybin1/status/1923349883945181392
[2]https://x.com/vikhyatk/status/1923541713618129273

— 完 —

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