本文深入探讨了神经网络中激活函数的作用及其重要性，详细介绍了Sigmoid、Tanh、ReLU、Leaky ReLU、PReLU和ELU等多种常见激活函数的原理、优缺点和适用场景。文章旨在帮助读者理解不同激活函数的特性，从而在构建神经网络时做出更合适的选择。

sigmoid函数将输入压缩到(0, 1)区间，适用于二分类输出层。然而，它存在梯度消失问题，当输入值绝对值较大时，梯度趋近于0，导致网络难以训练。此外，sigmoid输出非零均值，计算复杂度也相对较高，涉及指数运算。

Tanh函数将输入压缩到(-1, 1)区间，具有零均值输出，有助于缓解神经元输入的偏移问题。虽然Tanh函数比Sigmoid收敛更快，但仍存在梯度消失问题，计算复杂度也较高。

ReLU函数在x≥0时，梯度恒为1，有效缓解了梯度消失问题，计算简单高效，且加速网络收敛。但是，当x<0时，神经元梯度为0，可能导致神经元“死亡”问题。此外，ReLU输出非零均值。

Leaky ReLU 函数通过引入一个小的非零斜率来解决ReLU的神经元“死亡”问题，保证所有神经元都能参与训练。它保留了ReLU的优点，但α值需要手动设定，不同的α值可能影响网络性能。

PReLU将Leaky ReLU中的α作为可学习参数，使网络能自适应调整负半轴斜率，提高表达能力，性能更优。然而，它增加了训练参数，可能导致过拟合风险增加。

ELU函数结合了Sigmoid和ReLU的优点，加快了收敛速度，缓解了梯度消失问题。在x<0时，ELU函数值取负数，使输出均值接近0。但ELU计算复杂度增加，α值需要手动设定。

  在神经网络中，激活函数（Activation Function）扮演着至关重要的角色，它为神经网络引入非线性因素，使得网络能够学习和模拟复杂的非线性函数关系，从而具备处理各种复杂问题的能力。如果没有激活函数，多层神经网络将仅仅是一个线性组合模型，其表达能力会受到极大限制。以下是几种常见的激活函数汇总。

1. Sigmoid 函数

  Sigmoid 函数也称为 Logistic 函数，是一种常用的激活函数，它将输入值压缩到 (0, 1) 区间内，表达式为

$sigmoid(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

函数图像为

  Sigmoid 函数的图像是一条平滑的 S 形曲线，当 x 趋近于负无穷时，函数值趋近于 0；当 x 趋近于正无穷时，函数值趋近于 1。在 x=0 处，函数值是 0.5 。

优点

输出范围固定：输出值在 (0, 1) 之间，适合用于二分类问题的输出层，可将输出解释为概率。

平滑可导：函数处处连续可导，便于使用梯度下降等基于梯度的优化算法进行参数更新。

缺点

梯度消失问题：在 x 绝对值较大时，函数的梯度趋近于 0，导致在反向传播过程中，梯度很难传递到前面的层，使得网络难以训练，即出现梯度消失现象。

非零均值输出：输出值恒大于 0，这会导致后一层神经元的输入是非零均值的信号，可能会使梯度更新出现偏移，影响训练效果。

计算复杂度较高：涉及指数运算，在计算资源有限或大规模网络中，计算效率相对较低。

2. Tanh 函数

  Tanh 函数（双曲正切函数）将输入值压缩到 (-1, 1) 区间内，表达式为

$tanh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

函数图像为

  tanh 函数的图像是 S 形曲线，关于原点对称，在x=0处，函数值为 0 。

优点

零均值输出：输出值以 0 为中心，相比 Sigmoid 函数，能缓解后一层神经元输入的偏移问题，使得梯度更新更加合理。

比 Sigmoid 函数收敛速度快：在一定程度上缓解了梯度消失问题。

缺点

仍存在梯度消失：在 x 绝对值较大时，函数的梯度同样趋近于 0，深层网络训练时依然会面临梯度消失的挑战。

计算复杂度较高：同样涉及指数运算，计算效率有待提升。

3. ReLU 函数

  ReLU（Rectified Linear Unit，修正线性单元）函数是目前神经网络中使用最为广泛的激活函数之一，表达式为

$ReLU(x)=max(0,x)$

  即当$x\geq 0$时，函数值为x；当$x<0$时，函数值为0。

函数图像为

  ReLU 函数图像在 $x<0$ 时，输出为 0；在 $x\geq 0$ 时，是一条斜率为 1 的直线。

优点

有效缓解梯度消失：在 $x\geq 0$ 时，梯度恒为 1，不会出现梯度消失问题，使得网络能够更有效地进行反向传播和训练。

计算简单高效：仅需进行一次比较和一次取值操作，相比 Sigmoid 和 Tanh 函数，大大减少了计算量，提高了训练速度。

加速网络收敛：在实际应用中，使用 ReLU 函数的神经网络通常收敛速度更快。

缺点

神经元 “死亡” 问题：当 $x<0$ 时，神经元的梯度为 0，在反向传播过程中，如果参数更新导致某些神经元的输入始终小于等于 0，那么这些神经元将不再更新权重，就像 “死亡” 了一样，无法恢复。

输出非零均值：与 Sigmoid 函数类似，输出不是以 0 为中心，可能影响梯度更新。

4. Leaky ReLU 函数

  Leaky ReLU 是对 ReLU 函数的改进，旨在解决 ReLU 函数中神经元 “死亡” 的问题，表达式为

$LeakyReLU(x)=\begin{cases} x, \hspace{1em} if \hspace{0.25em} x\geq0 \\ \alpha x, \hspace{0.45em} if \hspace{0.25em} x<0 \end{cases}$

  其中 $\alpha$ 是一个很小的正数，如 0.01，使得 $x<0$ 时，函数依然有一个很小的梯度。

示意的函数图像为

优点

解决神经元 “死亡” 问题：通过引入一个小的非零斜率，避免了在 $x\leq 0$ 时神经元 “死亡” 的情况，保证了所有神经元在一定程度上都能参与训练。

保留 ReLU 的优点：继承了 ReLU 计算简单、缓解梯度消失等优点。

缺点

超参数问题：$\alpha$ 的值需要人为设定，不同的 $\alpha$ 值可能对网络性能产生不同影响，需要通过调参来确定合适的值。

5. PReLU 函数

  PReLU（Parametric ReLU）是对 Leaky ReLU 的进一步改进，它将 $\alpha$ 作为可学习的参数，在训练过程中与网络其他参数一起进行更新，表达式为

$PReLU(x)=\begin{cases} x, \hspace{1.3em} if \hspace{0.25em} x\geq0 \\ \alpha_i x, \hspace{0.45em} if \hspace{0.25em} x<0 \end{cases}$

  其中 $\alpha_i$ 是针对每个神经元的可学习参数。

优点

自适应调整：通过让 $\alpha$ 成为可学习参数，使得网络能够根据数据自适应地调整负半轴的斜率，提高了网络的表达能力。

性能更优：相比 Leaky ReLU，在一些情况下能取得更好的训练效果和性能表现。

缺点

增加训练参数：引入了额外的可学习参数，增加了网络的复杂度和训练参数的数量，可能会导致过拟合风险增加。

6. ELU 函数

  ELU（Exponential Linear Unit，指数线性单元）函数结合了 Sigmoid 和 ReLU 的优点，表达式为

$ELU(x)=\begin{cases} x, \hspace{3.5em} if \hspace{0.25em} x\geq0 \\ \alpha(e^x-1) , \hspace{0.1em} if \hspace{0.25em} x<0 \end{cases}$

  其中 $\alpha$ 是一个固定的超参数，通常取 0.1 或 0.2 。

优点

加快收敛速度：在 $x<0$ 时，函数值会取到负数，使得输出均值接近 0，从而加快网络的收敛速度。

缓解梯度消失：在 $x<0$ 时，函数的导数不为 0，缓解了在负半轴的梯度消失问题。

缺点

计算复杂度增加：在 $x<0$ 时涉及指数运算，相比 ReLU 函数，计算复杂度有所提高。

超参数问题：$\alpha$ 的值需要手动设定，合适的 $\alpha$ 值需要通过实验来确定。

  不同的激活函数适用于不同的场景和任务，在构建神经网络时，需要根据具体问题、网络结构和数据特点，合理选择激活函数，以达到更好的训练效果和性能表现。