【新智元导读】3 位华人数学家，终结了 65 年的代数拓扑中的著名问题！证明中 105 种假设路径中，计算程序成功排除了其中 101 种可能性，完成了计算上的壮举！
3 位华人数学家，终结了 65 年的著名数学问题！
这个问题涉及的是有框流形（framed manifolds）。
二维有框流形的例子
大概 10 年前，3 位数学家 Michael Hill，Michael Hopkins 和 Doug Ravenel 证明仅在维度 2、6、14、30、62 存在一种特殊的流形：Kervaire 不变量等于 1 的光滑有框流形。
而 126 维空间，也很有可能存在这样的流形，但没有被证明。
而在去年，复旦大学的林伟南、王国祯以及 UCLA 的徐宙利这 3 位北大校友，证明了 126 维度空间中这种流形的确存在。
这个 Kervaire 不变量问题，困扰了数学家 65 年，终于被破解！
这项研究连接了两种研究这些形状的方法。
一种是拓扑学（topology），它关注的是形状的连接方式——即在不撕裂的前提下对形状进行拉伸、扭曲时，哪些性质保持不变。
另一种是微分拓扑（differential topology），它研究的是足够「平滑」的形状，从而可以使用微积分中的概念，比如切线和导数来分析这些形状的结构。
但这一次，不止是数学，计算机编程也扮演着重要角色。
为了给北京大学献上 126 周年的生日祝福，在 2024 年北大校庆期间，三位北大数学系校友林伟南（2011 级）、王国祯（2004 级）、徐宙利（2004 级），在北京数学杂志（Peking Mathematical Journal）会议上公布了 Kervaire 不变量问题的彻底解决。
维度的个性
不同维度的空间，有着截然不同的「个性」。
比如说，只有三维空间中存在纽结（knots）——在更高维度中，即便紧紧抓住绳子的两端，也总能将一个打结的绳子解开。
普通人难以理解其中的乐趣和奥秘，但至少数学家能证明的确如此。
七个交叉点以内的素纽结（prime knots）
而在四维空间中，进阶版「莫比乌斯带」—— Klein 瓶的演化更为生动。
如今，数学家们终于为这场关于维度奇异性的研究写下了尾声，而这项研究已经持续了 65 年。
几十年来，研究者们一直想弄清楚：究竟在哪些维度中，可能存在极其奇特的形状——
它们扭曲得如此极端，以至于无法通过所谓的标准拓扑操作「手术」（surgery）将其变换成一个普通球面。
研究表明，这类形状的存在，与拓扑学中的一个核心问题紧密相关：不同维度的球面之间到底存在怎样的联系？
末日猜想
上世纪 50 年代，数学家 John Milnor 震惊了整个数学界——他发现第七维空间中存在「异构球面」（exotic spheres）。
所谓异构球面，从拓扑学的角度看，它与普通球面是一样的——
即如果你只是关注形状在拉伸或扭曲下保持不变的特征，两者看不出区别。
但它们在「平滑性」上的定义却不一致：一个在普通球面上被认为是平滑的曲线，在异构球面上可能就不再平滑。
Milnor 对这些异构球面产生了浓厚兴趣。
研究发现，在某些维度中这类球面非常罕见，而在另一些维度中，它们的数量可能多达几千个。
为此，Milnor 引入了一种名为**「手术」（surgery）的技术，这是一种受控地简化数学形状（即流形）并有可能将其转化为异构球面的方法**。
这一方法后来成为研究流形的核心工具之一。
顾名思义，「手术」（surgery）是指将一个流形中某一部分切除，然后沿着切口的边界平滑地缝合上一个或多个新的部分。
缝合时必须保持「平滑」，不能出现尖角或边缘不连续的情况。
在处理扭曲形状的问题时，数学家还要求手术过程要保留流形的「框架」，即描述流形如何嵌入空间的一个技术性属性。
为了直观理解这一过程，让我们用一个例子来说明：
通过「手术」，可以将轮胎圈转化为篮球外皮，也就是把「环面」（torus）转化为「球面」。
一共分为 4 步：
从轮胎圈中割下来一小圈；
轮胎圈变成了空心意大利面；
在轮胎圈两段缝上新补丁；
缝好后，新「轮胎圈」在拓扑上等价于「球面」。
最终结果是一个普通的球面——事实上，在二维中并不存在异构球面。
但在某些更高的维度中，手术有时可以把流形转化为普通球面，有时则会转化为异构球面。
而在某些情况下，还存在第三种可能：某些流形根本无法通过手术转化为球面。
为了想象这种最后的情况，我们可以再次观察一个环面，只不过这次我们会对它做一些特殊的扭曲，以阻碍手术的进行：
数学家们已经证明，无论如何操作，都无法通过手术将这个扭曲过的环面变成一个球面——不论是普通球面还是异构球面。这个流形属于完全不同的类别。
Kervaire 不变量
1960 年，法国数学家 Michel Kervaire 提出了一个不变量——称为 Kervaire 不变量。
每个光滑流形都有自己的 Kervaire 不变量：
如果一个流形可以通过手术变形成球面，那么它的 Kervaire 不变量为 0；
如果不能，则为 1。
因此，普通的环面的 Kervaire 不变量为 0，而那个扭曲的环面则为 1。
Kervaire 借助这个不变量，开始探索不同维度中各种可能存在的流形。
他甚至构造出一个 10 维流形，其 Kervaire 不变量既不是 0 也不是 1——
这意味着这个流形的结构扭曲得如此极端，以至于根本无法定义「平滑性」这种概念。
在此之前，没有人认为这样的流形可能存在。而随着这个强大不变量的出现，数学家们开始纷纷研究不同维度中流形的 Kervaire 不变量。
几年之内，研究者们已经证明，在维度 2、6、14 和 30 中确实存在 Kervaire 不变量为 1 的「扭曲流形」。
这些维度遵循一个规律：它们都是某个 2 的幂减 2。
1969 年，数学家 William Browder 证明了：只有这种形式的维度（即 2^k-2）才有可能出现 Kervaire 不变量为 1 的流形。
于是，人们自然地假设：在所有这些维度中（如 62、126、254 等），应该都存在这类扭曲流形。
基于这个假设，有数学家构建了一整套关于异构球面与其他形状的猜想体系。
但问题是：这个假设有可能是错误的。
如果它被推翻，整个基于它建立的猜想体系也将随之崩塌。
这就是所谓的「末日猜想」（Doomsday Hypothesis）——它威胁着许多数学结构的稳定性与可信性。
悬而未解的尾巴
尽管数学家们在 1984 年证明了：在第 62 维中确实存在 Kervaire 不变量为 1 的扭曲流形，但此后在其他维度中的搜索却屡屡失败。
随着一次又一次的尝试无果，研究者逐渐失去了动力，这个问题也被边缘化，变成了数学研究中的一条「死胡同」。
2009 年，为了「阻止这一课题被遗忘」，数学家 Victor Snaith 出版了一本书，探讨如果 Browder 列出的所有维度中都存在 Kervaire 不变量为 1 的流形，会带来哪些数学上的深远影响。
但在书的前言中，Snaith 发出了一句预警：「这本书所讨论的内容，也许终将证明是并不存在的事物。」
然而，如果 Snaith 晚一年出版这本书，它的内容可能会完全不同。
就在书出版后的几周内，Michael Hill，Michael Hopkins 和 Doug Ravenel 公布了一个令人震惊的结果：Snaith 的警告是正确的。
他们证明，末日猜想是真的：
在第 254 维及更高维度中，不可能存在 Kervaire 不变量为 1 的流形。
这一结果让整个数学界陷入了一个奇特的局面：在所有无限可能的维度和流形形状中，只有一个维度仍然悬而未决，尚未被分类清楚。
那就是第 126 维。
用罗切斯特大学数学家 Douglas Ravenel 的话说：这是「一条悬而未解的尾巴」。
无尽的探索
数学家们早已知道：要解决某个维度上的 Kervaire 不变量问题，只需理解该维度对应的稳定同伦群。
问题在于，这正是拓扑学中最困难、最基础的问题之一。
如数学家 Douglas Ravenel 所说：「我不指望我的孙女辈的有生之年能看到它被完全解决。」
因此，数学家们只能逐步推进。
自 1958 年以来，他们一直在整理与稳定同伦群结构相关的信息，构建出一个庞大但尚未完成的「点图谱」——这就是著名的 Adams 谱序列（Adams spectral sequence）。
这个图谱用密密麻麻的点和线记录了关于稳定同伦群的复杂数据，是拓扑学中最重要的计算工具之一。
关于球面稳定同伦群的 Adams 谱序列 E2 页的可视化示意图
这本「图谱」最初的几页只是粗略的近似。
越靠后的页面，表示的就越接近真相。直到你翻到最后一页，也被称为「无穷页」（infinity page），那时所展现的就是对这些拓扑对象的完整准确描述。
这正是 Adams 谱序列的精髓：用一页页「望远镜式的检查」，在庞大的同伦世界中，逐步筛选出哪些结构是真实的、哪些只是幻象。
关键所在：126 维
1969 年，数学家 William Browder 证明了图谱第 126 列中一个特定点是解决该维度下 Kervaire 不变量问题的关键。
若该点能存活至无穷页，则 126 维流形必然存在两种类型：
半数具有 Kervaire 不变量零，半数具有 Kervaire 不变量 1。
若该点消失，则 126 维流形仅存在 Kervaire 不变量零这一种类型。
对于第 126 列的特殊点，存在 105 种可能在抵达无穷页前消失的假设路径。
论文链接：www.jstor.org/stable/1970…
为了研究这些可能性，徐宙利与大学室友王国祯联手。
左：徐宙利；右：王国祯
在开发新计算技术的同时，他们将成果传递给徐宙利在研究生时期结识的数学家林伟南。
林伟南编写的程序成功排除了其中 101 种可能性。
随后经过一年攻坚，研究者们又开发出新方法排除了最后四种可能。
他们最终确认：Browder 的特殊点确实能存活至无穷页——这意味着 126 维空间中存在具有 Kervaire 不变量 1 的流形。
在团队宣布结果之前，数学家们认为这样的计算遥不可及。
这项新工作「在计算上堪称壮举」。
其方法最终可能帮助数学家们进一步绘制巨大的 Adams 谱序列图谱。
前路漫漫，数学永无止境
新论文证明了维度 126 中存在奇异的扭曲形状，但并未提供如何构造它们的线索。
研究人员已在前四个特殊的 Kervaire 维度（2、6、14 和 30）中识别出特定的扭曲形状。
但在维度 62 和 126 中尚未找到任何这样的形状，尽管在这些维度中，这类形状占所有可能形状的整整一半。
尽管它们数量众多，Tillmann 说：「我们实际上无法指出一个具体的例子。」
如果数学家们能够找出在维度 62 和 126 中构造扭曲形状的方法，可能会揭示这六个维度为何特殊的线索——
为什么只有在这六个维度中可以构建如此扭曲的形状。
Hopkins 说：「通常当这种情况发生时，会有一些非常美丽的构造。」
这种构造「非常短暂，因为它只能在五六次中生效，而非无限多次。」
这项新工作「激励人们真正尝试找到这六个维度的特殊构造。」
Kervaire 问题只是 Adams 谱序列中编码的一种维度异常。
特殊的 Kervaire 维度对应于图谱第二行中的六个特殊点。
最近，徐宙利和哥本哈根大学的 Robert Burklund 发现，少数特殊维度似乎在图谱第三行中展现出另一种奇特行为。
目前尚无人知晓这些维度中的特殊点对应于何种奇异流形，但数学家们希望能找到答案。
徐宙利表示，后续新的发现也很可能接踵而至。
「后面应该还有很多故事，等待我们去探索。」
参考资料：
