原创 KIK 2025-02-28 18:51 北京
数学界不久前迎来一项重大突破：北京大学校友、现纽约大学数学副教授王虹与加拿大不列颠哥伦比亚大学的 Joshua Zahl 共同解决了困扰数学界数十年的三维挂谷（Kakeya）集合猜想。
数学界不久前迎来一项重大突破：北京大学校友、现纽约大学数学副教授王虹与加拿大不列颠哥伦比亚大学的 Joshua Zahl 共同解决了困扰数学界数十年的三维挂谷（Kakeya）集合猜想。相关成果被数学界泰斗、菲尔兹奖得主陶哲轩在个人博客上高度评价，并专文详解，引发学界热议。
图丨相关推文（来源：Mathstodon）
一个简单问题背后的深刻数学结构
Kakeya 集合猜想源于 1917 年日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）提出的一个看似简单的几何问题：一根无限细的单位长度针在平面上移动，如果要使针指向每个可能的方向，最小扫过面积是多少？
如果简单地绕其中心点旋转，会形成一个圆。Kakeya 最初认为一个三角形状的“三角洲形”（deltoid）是最优解，其面积是圆的一半。然而，这一猜想很快被推翻。
（来源：Quanta Magazine）
俄罗斯数学家 Besicovitch 在 1919 年证明，通过特殊的排列方式，理论上存在面积为零的集合，其中包含指向每个方向的单位线段。这种构造方法是将三角形沿其底边分割成更细的三角形片段，然后重新排列这些片段，使它们尽可能重叠但在略微不同的方向上突出。通过无限重复这个过程——将三角形分割成越来越薄的片段，并在空间中仔细重新排列它们——可以使集合的面积任意小。在无限极限下，可以得到一个在数学上没有面积，但仍然可以容纳指向任何方向的针的集合。
这一发现延伸为更一般的猜想：在 空间中，任何包含所有方向单位线段的 Kakeya 集合，其 Minkowski 维数和 Hausdorff 维数均为 。虽然二维情况在 1971 年就被 Davies 证明，但三维及更高维的情况一直是未解之谜。
1971 年，美国普林斯顿大学的数学家 Charles Fefferman 在研究傅里叶变换时，发现了 Kakeya 集合与调和分析之间存在惊人的联系。Fefferman 证明，在高维空间中，依赖特定方式选择频率的傅里叶重构方法可能会失败。他的证明依赖于修改 Besicovitch 的 Kakeya 集合构造。
这一发现启发数学家们发展了一个关于高维空间中傅里叶变换行为的猜想层次结构。如今，这个层次结构甚至包括关于物理学中重要偏微分方程（如薛定谔方程）行为的猜想。挂谷猜想位于这个层次塔的最底层。
1995 年，Thomas Wolff 证明了三维空间中 Kakeya 集合的 Minkowski 维数至少为 2.5。随后在 1999 年，数学家 Nets Katz、Izabella Łaba 和陶哲轩将这一下界提高到了 2.500000001。尽管改进看似微不足道，但它克服了一个巨大的理论障碍。
随后，Katz 和陶哲轩提出了一种新的方法来解决三维挂谷猜想。他们假设任何反例（即维数小于 3 的 Kakeya 集合）必须具有三个特定属性，这些属性的共存必须导致矛盾。这三个属性是：
“平面性”（planiness）：当线段在一点相交时，这些线段也几乎位于同一平面上。
“粒状性”（graininess）：邻近交点的平面具有相似的方向。
“粘性”（stickiness）：指向几乎相同方向的线段在空间中也必须靠近。
Katz 和陶哲轩能够证明任何反例必须具有前两个属性，但无法证明第三个属性。直觉上，“粘性”集合似乎是强制线段之间大量重叠的最佳方式，从而使集合尽可能小——这正是创建反例所需的条件。
在 2021 年，王虹和 Zahl 决定接手 Katz 和陶哲轩留下的工作。在 2022 年，他们证明了不存在“粘性”的 Kakeya 集合反例。具体来说，他们首先假设存在维数小于 3 的粘性反例，从先前的工作中已知，这样的反例必须是平面性和粒状性的。
图丨Joshua Zahl（来源：Quanta Magazine）
为了获得所需的矛盾，王虹和 Zahl 将注意力转向了投影理论的领域。他们首先更详细地分析了粘性反例的结构，证明随着针变细，集合变得越来越平面。通过这一过程，他们能够“提取一个更加病态的对象”。他们证明了这个病态对象必须符合两种情况之一，这两种情况都导致了矛盾：
• 要么可以将其向下投影到二维空间，使其在许多方向上变得更小——这是王虹和她的同事刚刚证明不可能的事情。
• 要么集合中的针会按照一种特定的函数进行组织，而这种函数 Zahl 和他的合作者已证明不可能存在。
这样，王虹和 Zahl 获得了他们需要的矛盾——这意味着不存在粘性反例，彻底排除了数学家们认为最有可能反驳猜想的类型集合。
2025 年的最终突破
接续着此前的工作，在 2025 年 2 月发表的最新论文中，王虹和 Zahl 用长达 127 页的论文完全解决了三维挂谷猜想。
图丨相关论文（来源：arXiv）
首先，最核心的三维挂谷猜想可以表述为：每个三维空间中的 Kakeya 集合都具有 Minkowski 和 Hausdorff 维数为 3。
王虹和 Zahl 的证明首先将问题离散化：考虑一族 的细管（tubes），共有约 个，指向 -分离的方向。Kakeya 猜想等价于证明这些管的并集体积约为 1。
形式化地说，他们定义了两个关键断言：
断言 D(, )：对任意 ，存在 使得对于所有 ，如果 是 稠密且满足 Katz-Tao 凸 Wolff 公理和 Frostman 平板 Wolff 公理（误差不超过 ），则：
断言 E(, )：对任意 ，存在 使得对于所有 ，如果 是 稠密，则：
其中 ，分别表示 Katz-Tao 凸 Wolff 公理和 Frostman 平板 Wolff 公理的误差。
证明的核心策略是实施一种精细的尺度归纳法。王虹和 Zahl 证明了两个关键命题：
命题 1.6：对于 , ，断言 E(, )等价于断言 D(, )。
命题 1.7：存在函数 ，使得对于 , ，如果 E(, ) 成立，则 D(, ) 也成立。结合 Wolff 的已知结果（D(1/2, 0)成立），通过迭代这两个命题，可以证明 D(0, 0) 成立，从而解决挂谷猜想。然后，证明区分了“粘性”和“非粘性”情况。
首先是粘性情况分析：当细管呈“粘性”分布时，存在尺度 ，使得约 个 - 粗管中，每个粗管包含约 个细管。此时 中管的并集体积满足：
其次是非粘性情况分析：在非粘性情况下，存在尺度 ，使得有 个 - 管（），每个粗管仅包含 个细管。这种情况下，王虹和 Zahl 引入了复杂的分解技术。
王虹和 Zahl 利用 Guth 的粒状分解理论，将每个粗管 中的细管 分解成“粒”（grains）—维度为 的矩形棱柱，其中 。
这种分解允许他们定义两个关键量： • ：每个粗管内细管的典型交叉重数• ：每个点所属的粗管数量关键不等式：
对于非粘性情况，他们证明：
对于非粘性情况的深入分析，王虹和 Zahl 证明了一个关键的结构定理：存在一组凸集 满足以下性质：
满足 Katz-Tao 凸 Wolff 公理，误差
对于每个，集合满足：a. b. 对于 内任何凸集 ，有
这一结构定理的应用导致了三种情况的分析：
情况 1：。应用断言 D(, ) 可得：
情况 2：，且 中每个集合厚度 。此时存在尺度 ，使得对于典型点 ，球 与 的交集满足：$
情况 3：，且 中每个集合厚度约为 。此时粒可被更大的棱柱替代，迭代应用上述分析。
通过上述分析，王虹和 Zahl 证明：若 是使断言 D(, ) 估计紧的 - 管集合，则存在尺度 和 - 管集合 ，满足 ，且 和每个（重标）集合 都满足断言 D(, ) 的假设，且 D(, ) 对所有这些管排列都是紧的。
迭代应用这一结论，可证明存在一系列紧密间隔的尺度 和覆盖 的集合 ，满足。最后，通过 Nikishin-Stein-Pisier 因子化技术，证明若 ，可构造一个新集合 ，由约 个 的随机平移旋转副本组成，使得 具有与 相似的多尺度结构，且基数约为 。应用粘性 Kakeya 定理得出： 时断言 D(, ) 对 紧矛盾，证明了 D(0, 0) 成立，从而完成了 Kakeya 猜想的证明。
或将获得 2026 年的菲尔兹奖？
通过彻底解决三维挂谷猜想，王虹和 Zahl 不仅解决了一个长期存在的数学问题，还为解决更高维度的 Kakeya 猜想和其他相关猜想提供了新的技术工具和思路。尽管这项工作尚未解决更强的“Kakeya 极大函数猜想”，但已足以证明三维 Kakeya 集合具有最大维数 3。他们的证明还解决了三维空间中的“管道加倍猜想”和 Keleti 的“线段延伸猜想”。而王虹或许也有望因这项成果而得到 2026 年菲尔兹奖。
王虹出生于 1991 年广西桂林，16 岁考入北京大学，起初就读地球与空间物理系，后转入数学科学学院。2011 年获得学士学位后，她前往法国深造，先后在法国巴黎综合理工学院和法国巴黎第十一大学获得工程师学位和硕士学位。2019 年，她在美国麻省理工学院获得博士学位，随后在普林斯顿高等研究院完成博士后研究。2021 年至 2023 年期间，她在美国加州大学洛杉矶分校担任助理教授，目前在美国纽约大学柯朗数学研究所担任副教授，已获终身教职。
图丨王虹（来源：世界华人数学家联盟）
近年来，她的名字在数学圈内迅速崭露头角。年纪轻轻，已经在多个重要数学问题上取得突破性进展，包括 Falconer 距离集问题和 Furstenberg 集猜想，这些都是调和分析和几何测度论领域的重量级难题。
2022 年，王虹因其杰出的数学贡献获得了玛丽安·米尔扎哈尼新前沿奖，这是突破奖基金会颁发的备受瞩目的奖项，之前中国新一代数学家恽之玮、张伟、许晨阳、朱歆文等人也曾获得突破奖的相关奖项。这是对她研究成果的重要肯定。
随着 2026 年菲尔兹奖颁奖日期的临近，已经有许多人预测王虹将是本年度的获奖者之一。
图丨外界对本次菲尔兹奖获奖者的预测（来源：Manifold）
从历史上看，解决长期未解决的重要猜想往往是获得菲尔兹奖的重要依据。目前，王虹解决三维挂谷猜想的工作已经得到了包括菲尔兹奖得主陶哲轩在内的顶尖数学家的高度评价，陶哲轩甚至在自己的博客上详细分析了这一突破的重要性和技术创新。
当然，这篇长达 127 页的论文还需经过严格的同行评审，才能最终确认其正确性。数学证明需要环环相扣，一丝疏忽都可能导致整个论证失效。历史上，雄心勃勃的“证明”最终被证伪的例子并不少见。因此，数学界现在需要的是耐心等待专家们仔细审视这篇论文，确认其是否真正滴水不漏。
如果最终被证实无误，这将是几何测度论领域的里程碑式突破，不仅解决了三维挂谷猜想，更可能为更高维度问题提供新思路。更重要的是，它将推动调和分析、分形几何等相关领域的发展，甚至可能在数论、物理等领域产生意想不到的影响。
在数学界，菲尔兹奖的评选标准除了成果的重要性外，还看重创新性、多样性和对整个数学领域的推动作用。王虹的工作已经在多个方面展现出这些特质。如果她能在 2026 年获得菲尔兹奖，将成为继许晨阳之后又一位获此殊荣的中国数学家，也将成为历史上为数不多的女性菲尔兹奖得主，对促进数学领域的性别多样性具有重要意义。
参考资料：
1. https://arxiv.org/abs/2502.17655
3. https://www.quantamagazine.org/new-proof-threads-the-needle-on-a-sticky-geometry-problem-20230711/
排版：刘雅坤、何晨龙
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