在不断发展的机器学习研究领域，最近，人们对使用图对具有关系结构的数据进行建模产生了浓厚的兴趣。图和基于网络的数据现在在现实世界中无处不在，例如社交网络、交通、金融交易和大脑网络。因此，开发图模型对于让用户理解和预测日常现象中观察到的复杂性质至关重要。目前，关于图神经网络的文献很多，但概率和贝叶斯选项有限。为了解决这个问题，我们在本文中为图数据开发了一系列高斯过程 (GP)。由于图信号处理的出现，在图上构建 GP 现在更加可行，它为我们提供了处理图结构信息和平滑度建模的工具。我们解决的第一个问题是使用多输出高斯过程预测信号的演变。我们使用从图拉普拉斯算子定义的核和可学习的光谱滤波器来预测与数据匹配的平滑度。然后，我们将重点转向半监督分类，为这项任务设计了三个模型，每个模型都侧重于一种特定的方法：多尺度建模、传导学习和层建模。第一种方法提供了一种在图上对小波的新利用，以充分利用它们捕获数据中多尺度属性的能力。接下来，我们提出了具有传导属性的图上核的统一定义，旨在利用完整数据集的分布来更好地为预测提供信息。这自然适合图上的半监督问题，其中训练和测试节点通常是连接在一起的并且同时可用。最后，我们引入层作为图的高阶表示，通过学习额外的拓扑结构来设计具有更强分离能力的 GP。总的来说，这篇论文不仅对离散和非欧几里得数据的 GP 研究做出了宝贵贡献，而且为更广泛使用的图神经网络提供了有用的替代方案。

论文题目：Gaussian Processes on Graphs

作者：Yin-Cong Zhi

类型：2024年博士论文

学校：University of Oxford（英国牛津大学）

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硕博论文汇总：

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将图形数据构建为 GP 的输入输出对的图示。蓝色的每一列都是图形信号，表示节点上的值，下面是红色的输入协变量的对应列。

可视化如何使用小波滤波器来捕捉图形结构和图形信号中的多尺度属性。图 (a) 显示了具有两级簇（4 节点簇和 8 节点簇）的图形。这些簇反映在图 (b) 中图形频谱的间隙（约 0.2 和 0.6）中。该信号是通过使用 (b) 中的滤波器过滤随机信号获得的，特意突出显示三个特征值簇。图 (c) - (e) 显示了 (a) 中的完整信号如何分解为三个滤波器分量。正如预期的那样，低通信号主要在最高簇级别（8 节点簇之间）上变化，带通信号主要在第二簇级别（4 节点簇之间）上变化，高通信号从一个节点到另一个节点。

（a）节点 v1 和 v2 之间的单个层边 e 的说明。（b）d = 2 示例：特征 xi 通过线性层 Λ 映射到节点空间 F(v)，特征映射 Fv⊴e 然后将其变换到边空间 F(e)。

规则网格图上δ信号的墨西哥帽小波变换。网格模拟欧几里得域，以在不同尺度上更清晰地展示邻域。